Elementarmathematik Beispiele

$y > 4^{x}$ , $y < 8 - x^{2}$ , $x + y > 0$

Schritt 1

Vereinfache die erste Ungleichung.

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Schritt 1.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$4^{x} < y$ und $y < 8 - x^{2}$

Schritt 1.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{x}) < \ln (y)$ und $y < 8 - x^{2}$

Schritt 1.3

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (4) < \ln (y)$ und $y < 8 - x^{2}$

Schritt 1.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) < \ln (y)$ durch $\ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) < \ln (y)$ durch $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $y < 8 - x^{2}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $y < 8 - x^{2}$

Schritt 1.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $y < 8 - x^{2}$

Schritt 2

Vereinfache die zweite Ungleichung.

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Schritt 2.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $8 - x^{2} > y$

Schritt 2.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $- x^{2} > y - 8$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} > y - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Term in $- x^{2} > y - 8$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $\frac{- x^{2}}{- 1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $\frac{x^{2}}{1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $x^{2} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $x^{2} < - 1 \cdot y + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y$ als $- y$ um.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $x^{2} < - y + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $x^{2} < - y + 8$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $\sqrt{x^{2}} < \sqrt{- y + 8}$

Schritt 2.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $| x | < \sqrt{- y + 8}$

Schritt 2.6

Schreibe $| x | < \sqrt{- y + 8}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.6.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.6.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x < \sqrt{- y + 8}$

Schritt 2.6.3

Bestimme den Definitionsbereich von $x < \sqrt{- y + 8}$ und ermittle die Schnittmenge mit $x \geq 0$ .

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Schritt 2.6.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $x < \sqrt{- y + 8}$ .

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Schritt 2.6.3.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- y + 8}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- y + 8 \geq 0$

Schritt 2.6.3.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.3.1.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- y \geq - 8$

Schritt 2.6.3.1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- y \geq - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.3.1.2.2.1

Teile jeden Term in $- y \geq - 8$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.6.3.1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.3.1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.6.3.1.2.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.6.3.1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1.2.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$y \leq 8$

Schritt 2.6.3.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 8]$

Schritt 2.6.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 0$ und $(- \infty, 8]$ .

$0 \leq x \leq 8$

Schritt 2.6.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.6.5

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x < \sqrt{- y + 8}$

Schritt 2.6.6

Bestimme den Definitionsbereich von $- x < \sqrt{- y + 8}$ und ermittle die Schnittmenge mit $x < 0$ .

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Schritt 2.6.6.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- x < \sqrt{- y + 8}$ .

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Schritt 2.6.6.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- y + 8}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- y + 8 \geq 0$

Schritt 2.6.6.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.6.1.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- y \geq - 8$

Schritt 2.6.6.1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- y \geq - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.6.1.2.2.1

Teile jeden Term in $- y \geq - 8$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.6.6.1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.6.1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.6.6.1.2.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.6.6.1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.6.1.2.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$y \leq 8$

Schritt 2.6.6.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 8]$

Schritt 2.6.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 0$ und $(- \infty, 8]$ .

$x < 0$

Schritt 2.6.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und ${\begin{cases} x < \sqrt{- y + 8} & 0 \leq x \leq 8 \\ - x < \sqrt{- y + 8} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.7

Löse $x < \sqrt{- y + 8}$ , wenn $0 \leq x \leq 8$ ergibt.

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Schritt 2.7.1

Löse $x < \sqrt{- y + 8}$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.7.1.1

Stelle so um, dass $y$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $\sqrt{- y + 8} > x$

Schritt 2.7.1.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > x^{2}$

Schritt 2.7.1.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.7.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- y + 8}$ als ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

Schritt 2.7.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1.3.2.1

Vereinfache ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.7.1.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.7.1.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Schritt 2.7.1.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.1.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Schritt 2.7.1.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $- y + 8 > x^{2}$

Schritt 2.7.1.3.2.1.2

Vereinfache.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $- y + 8 > x^{2}$

Schritt 2.7.1.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.7.1.4.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $- y > x^{2} - 8$

Schritt 2.7.1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- y > x^{2} - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1.4.2.1

Teile jeden Term in $- y > x^{2} - 8$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.7.1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.7.1.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.7.1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.1.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.7.1.4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.7.1.4.2.3.1.3

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $y < - x^{2} + 8$

Schritt 2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < - x^{2} + 8$ und $0 \leq x \leq 8$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $0 \leq x \leq N o$ Minimum

Schritt 2.8

Löse $- x < \sqrt{- y + 8}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.8.1

Löse $- x < \sqrt{- y + 8}$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.8.1.1

Stelle so um, dass $y$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $\sqrt{- y + 8} > - x$

Schritt 2.8.1.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > {(- x)}^{2}$

Schritt 2.8.1.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.8.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- y + 8}$ als ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x)}^{2}$

Schritt 2.8.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.8.1.3.2.1

Vereinfache ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.8.1.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.8.1.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Schritt 2.8.1.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.1.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Schritt 2.8.1.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Schritt 2.8.1.3.2.1.2

Vereinfache.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Schritt 2.8.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.1.3.3.1

Vereinfache ${(- x)}^{2}$ .

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Schritt 2.8.1.3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $- y + 8 > {(- 1)}^{2} x^{2}$

Schritt 2.8.1.3.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $- y + 8 > 1 x^{2}$

Schritt 2.8.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $- y + 8 > x^{2}$

Schritt 2.8.1.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.8.1.4.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $- y > x^{2} - 8$

Schritt 2.8.1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- y > x^{2} - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1.4.2.1

Teile jeden Term in $- y > x^{2} - 8$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.8.1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.8.1.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.8.1.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.8.1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.1.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.8.1.4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.8.1.4.2.3.1.3

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ und $y < - x^{2} + 8$

Schritt 2.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < - x^{2} + 8$ und $x < 0$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Minimum

Schritt 2.9

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Maximum

Schritt 3