Elementarmathematik Beispiele

$\cot (x) > 0$ , $\cos (x) > 0$

Schritt 1

Vereinfache die erste Ungleichung.

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Schritt 1.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x > arccot (0)$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x > \frac{π}{2}$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{2}$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.4

Vereinfache $π + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 1.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 1.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\cot (x)$ .

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Schritt 1.8.1

Setze das Argument in $\cot (x)$ gleich $π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.8.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.10.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.10.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cot (1) > 0$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.10.1.3

Die linke Seite $0.64209261$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.10.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < x < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < x < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.10.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cot (2) > 0$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.10.2.3

Die linke Seite $- 0.45765755$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.10.3

Teste einen Wert im Intervall $π < x < \frac{3 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < x < \frac{3 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cot (4) > 0$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.10.3.3

Die linke Seite $0.86369115$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Wahr

$\frac{π}{2} < x < π$ Falsch

$π < x < \frac{3 π}{2}$ True and $\cos (x) > 0$

$0 < x < \frac{π}{2}$ Wahr

$\frac{π}{2} < x < π$ Falsch

$π < x < \frac{3 π}{2}$ True and $\cos (x) > 0$

Schritt 1.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 + π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 1.12

Vereine die Intervalle.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $\cos (x) > 0$

Schritt 2

Vereinfache die zweite Ungleichung.

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Schritt 2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x > \arccos (0)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x > \frac{π}{2}$

Schritt 2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Schritt 2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = \frac{π}{2} + π n$

Schritt 2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\cot (x)$ .

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Schritt 2.8.1

Setze das Argument in $\cot (x)$ gleich $π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.8.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{5 π}{2}$

Schritt 2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = 1$

Schritt 2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $\cot (1) > 0$

Schritt 2.10.1.3

Die linke Seite $0.64209261$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and True

Schritt 2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < x < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < x < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = 2$

Schritt 2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $\cot (2) > 0$

Schritt 2.10.2.3

Die linke Seite $- 0.45765755$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and False

Schritt 2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $π < x < \frac{3 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < x < \frac{3 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = 4$

Schritt 2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $\cot (4) > 0$

Schritt 2.10.3.3

Die linke Seite $0.86369115$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and True

Schritt 2.10.4

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = 5$

Schritt 2.10.4.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $\cot (5) > 0$

Schritt 2.10.4.3

Die linke Seite $- 0.29581291$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and False

Schritt 2.10.5

Teste einen Wert im Intervall $2 π < x < \frac{5 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 π < x < \frac{5 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $x = 7$

Schritt 2.10.5.2

Ersetze $x$ durch $7$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ oder $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ und $\cot (7) > 0$

Schritt 2.10.5.3

Die linke Seite $1.14751542$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and True

Schritt 2.10.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and $0 < x < \frac{π}{2}$ True

$\frac{π}{2} < x < π$ Falsch

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Wahr

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Falsch

$2 π < x < \frac{5 π}{2}$ Wahr

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and $0 < x < \frac{π}{2}$ True

$\frac{π}{2} < x < π$ Falsch

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Wahr

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Falsch

$2 π < x < \frac{5 π}{2}$ Wahr

Schritt 2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and $0 + 2 π n < x < \frac{π}{2} + 2 π n$ or $π + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$

Schritt 2.12

Vereine die Intervalle.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and $π + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $2 π n < x < \frac{π}{2} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$

Schritt 3