Elementarmathematik Beispiele

$x = 2 t - 1$ , $y = t^{3}$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = 2 t - 1$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $2 t - 1 = x$ um.

$2 t - 1 = x$

Schritt 3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 t = x + 1$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 t = x + 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 t = x + 1$ durch $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 t}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = {(\frac{x}{2} + \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6

Vereinfache ${(\frac{x}{2} + \frac{1}{2})}^{3}$ .

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Schritt 6.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = {(\frac{x}{2})}^{3} + 3 {(\frac{x}{2})}^{2} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$y = \frac{x^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{x}{2})}^{2} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + 3 {(\frac{x}{2})}^{2} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$y = \frac{x^{3}}{8} + 3 \frac{x^{2}}{2^{2}} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + 3 \frac{x^{2}}{4} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2}}{4}$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.6

Kombinieren.

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} \cdot 1}{4 \cdot 2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{4 \cdot 2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.8

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.9

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.10

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.11

Kombinieren.

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.12

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 6.2.12.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1^{2}}{2^{1 + 2}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.12.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1^{2}}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.13.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.14

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.15

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Schritt 6.2.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{1}{2^{3}}$

Schritt 6.2.17

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{1}{8}$