Elementarmathematik Beispiele

$x = t^{2} + t$ , $y = 2 t - t$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = t^{2} + t$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $t^{2} + t = x$ um.

$t^{2} + t = x$

Schritt 3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t^{2} + t - x = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$t = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 7.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$t = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{1 + 4 x}$ heraus.

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})$ heraus.

$t = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$t = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 8.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 - \sqrt{1 + 4 x}$ heraus.

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Schritt 8.4.1

Stelle $1$ und $4 x$ um.

$t = \frac{- 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 8.4.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 8.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{4 x + 1}$ heraus.

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{4 x + 1})}{2}$

Schritt 8.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\sqrt{4 x + 1})$ heraus.

$t = \frac{- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Schritt 8.4.5

Schreibe $- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})$ als $- (1 + \sqrt{4 x + 1})$ um.

$t = \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Schritt 8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 10

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = 2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) - (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})$

Schritt 11

Multipliziere $- 1$ mit $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ .

$y = 2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12

Vereinfache $2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ .

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Multipliziere $2$ mit jedem Element der Matrix.

$y = (2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 12.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$ in den Zähler.

$y = (2 (\frac{- (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = (2 \frac{- (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = (- (1 - \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- (1 - \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = (- 1 \cdot 1 - - \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = (- 1 - - \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.1.2.4

Multipliziere $- - \sqrt{1 + 4 x}$ .

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Schritt 12.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = (- 1 + 1 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.1.2.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{1 + 4 x}$ mit $1$ .

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ in den Zähler.

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (\frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.1.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.1.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - (1 + \sqrt{4 x + 1})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - (1 + \sqrt{4 x + 1})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.1.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.2

Um $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.3.1

Kombiniere $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ .

$y = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.4.2

Multipliziere $2$ mit jedem Element der Matrix.

$y = \frac{(2 (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.4.3

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 12.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 \cdot - 1 + 2 (- \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.4.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 + 2 (- \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 12.4.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$