Elementarmathematik Beispiele

$x = t^{2} + t$ , $y = \sqrt{t^{2} - t}$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = t^{2} + t$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $t^{2} + t = x$ um.

$t^{2} + t = x$

Schritt 3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t^{2} + t - x = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$t = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 7.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$t = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{1 + 4 x}$ heraus.

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})$ heraus.

$t = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$t = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Schritt 8.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 - \sqrt{1 + 4 x}$ heraus.

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Schritt 8.4.1

Stelle $1$ und $4 x$ um.

$t = \frac{- 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 8.4.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 8.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{4 x + 1}$ heraus.

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{4 x + 1})}{2}$

Schritt 8.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\sqrt{4 x + 1})$ heraus.

$t = \frac{- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Schritt 8.4.5

Schreibe $- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})$ als $- (1 + \sqrt{4 x + 1})$ um.

$t = \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Schritt 8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Schritt 10

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = \sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} - (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}$

Schritt 11

Multipliziere $- 1$ mit $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ .

$y = \sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

Schritt 12

Vereinfache $\sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$ .

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Schritt 12.1

Um ${(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.2.1

Kombiniere ${(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{\frac{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

Schritt 12.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt{\frac{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

Schritt 12.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2}$ .

$y = \sqrt{\frac{2 {(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$