Elementarmathematik Beispiele

$x = t + \frac{1}{t}$ , $y = t - \frac{1}{t}$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = t + \frac{1}{t}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $t + \frac{1}{t} = x$ um.

$t + \frac{1}{t} = x$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, t, 1$

Schritt 3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$t$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $t + \frac{1}{t} = x$ mit $t$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $t + \frac{1}{t} = x$ mit $t$ .

$t \cdot t + \frac{1}{t} t = x t$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$t^{2} + \frac{1}{t} t = x t$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t^{2} + \frac{1}{t} t = x t$

Schritt 4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$t^{2} + 1 = x t$

Schritt 5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x t$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t^{2} + 1 - x t = 0$

Schritt 5.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - x$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot 1$ als ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ um.

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - x$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1.3.1

Multipliziere $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.4.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.1.3.2

Multipliziere $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 5.4.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot 1$ als ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ um.

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - x$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1.3.1

Multipliziere $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.5.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.1.3.2

Multipliziere $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 5.5.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Schritt 5.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot 1$ als ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ um.

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - x$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1.3.1

Multipliziere $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.6.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.3.2

Multipliziere $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 5.6.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Schritt 5.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Schritt 6

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = (\frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}, \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}) - \frac{1}{(\frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}, \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2})}$