Elementarmathematik Beispiele

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$ , $y = 3 (1 - \sqrt{4 - t^{2}})$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ um.

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ durch $4$ .

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 3.2.1.1.2

Dividiere $\sqrt{4 - t^{2}}$ durch $1$ .

$\sqrt{4 - t^{2}} = \frac{x}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} - t^{2}} = \frac{x}{4}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = t$ .

$\sqrt{(2 + t) (2 - t)} = \frac{x}{4}$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{(2 + t) (2 - t)}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(2 + t) (2 - t)}$ als ${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${((2 + t) (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere $(2 + t) (2 - t)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 (2 - t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(4 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${(4 - 2 t + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

${(4 - 2 t + 2 \cdot t + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(4 - 2 t + 2 t - t \cdot t)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.1.5

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.3.1.5.1

Bewege $t$ .

${(4 - 2 t + 2 t - (t \cdot t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

${(4 - 2 t + 2 t - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Addiere $- 2 t$ und $2 t$ .

${(4 + 0 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.3

Addiere $4$ und $0$ .

${(4 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$4 - t^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{4}$ an.

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{16}$

Schritt 6

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $t^{2}$ durch $1$ .

$t^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1}$ .

$t^{2} = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{16}$ als $- \frac{x^{2}}{16}$ um.

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + 4$

Schritt 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$

Schritt 6.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$ .

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Schritt 6.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 2^{2}}$

Schritt 6.4.1.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{16}$ als ${(\frac{x}{4})}^{2}$ um.

$t = \pm \sqrt{- {(\frac{x}{4})}^{2} + 2^{2}}$

Schritt 6.4.1.3

Stelle $- {(\frac{x}{4})}^{2}$ und $2^{2}$ um.

$t = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = \frac{x}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Schritt 6.4.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Schritt 6.4.4

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Schritt 6.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 4 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

Schritt 6.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

Schritt 6.4.7

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4})}$

Schritt 6.4.8

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{x}{4})}$

Schritt 6.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{2 \cdot 4 - x}{4}}$

Schritt 6.4.10

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{8 - x}{4}}$

Schritt 6.4.11

Mutltipliziere $\frac{8 + x}{4}$ mit $\frac{8 - x}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{4 \cdot 4}}$

Schritt 6.4.12

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}}$

Schritt 6.4.13

Schreibe $\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}$ als ${(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ um.

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Schritt 6.4.13.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(8 + x) (8 - x)$ heraus.

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{16}}$

Schritt 6.4.13.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.4.13.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$t = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))}$

Schritt 6.4.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \pm \frac{1}{4} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Schritt 6.4.15

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Schritt 6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Schritt 6.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Schritt 6.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Schritt 7

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = 3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

Schritt 8

Vereinfache $3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$ .

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = 3 (1 - \sqrt{2^{2} - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

Schritt 8.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 - (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Schritt 8.1.3

Vereinfache.

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Schritt 8.1.3.1

Multipliziere $- 1$ mit jedem Element der Matrix.

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Schritt 8.1.3.2

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ .

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Schritt 8.1.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, 1 (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})))})$

Schritt 8.1.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ mit $1$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Schritt 8.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 \cdot 1 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = 3 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Schritt 8.2.2.3

Stelle $8$ und $x$ um.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Schritt 8.2.2.4

Stelle $8$ und $- x$ um.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Schritt 8.2.2.5

Stelle $8$ und $x$ um.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Schritt 8.2.2.6

Stelle $8$ und $- x$ um.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Schritt 8.2.2.7

Stelle $8$ und $x$ um.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Schritt 8.2.2.8

Stelle $8$ und $- x$ um.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Schritt 8.2.2.9

Stelle $8$ und $x$ um.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}))}$

Schritt 8.2.2.10

Stelle $8$ und $- x$ um.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}))}$