Elementarmathematik Beispiele

$x - 2 y = - \frac{3}{4}$ , $4 x + 3 y = 2$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{3}{4} \\ 2 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 3 - 4 \cdot - 2$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - 4 \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$3 + 8$

Schritt 2.3.2

Addiere $3$ und $8$ .

$11$

$D = 11$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - \frac{3}{4} \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - \frac{3}{4} & - 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- \frac{3}{4} \cdot 3 - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere $- \frac{3}{4} \cdot 3$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (\frac{3}{4}) - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 3 \cdot 3}{4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{- 9}{4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$- \frac{9}{4} + 4$

Schritt 4.2.2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{9}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 4.2.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 9 + 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{- 9 + 16}{4}$

Schritt 4.2.2.5.2

Addiere $- 9$ und $16$ .

$\frac{7}{4}$

$D_{x} = \frac{7}{4}$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $11$ for $D$ and $\frac{7}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{\frac{7}{4}}{11}$

Schritt 4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{11}$

Schritt 4.6

Multipliziere $\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{11}$ .

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{7}{4}$ mit $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{7}{4 \cdot 11}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $11$ .

$x = \frac{7}{44}$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - \frac{3}{4} \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} \\ 4 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 2 - 4 (- \frac{3}{4})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - 4 (- \frac{3}{4})$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$2 - 4 (\frac{- 3}{4})$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$2 + 4 (- 1) \frac{- 3}{4}$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4}$

Schritt 5.2.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$2 - - 3$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$2 + 3$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $2$ und $3$ .

$5$

$D_{y} = 5$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $11$ for $D$ and $5$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{5}{11}$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = \frac{7}{44}$

$y = \frac{5}{11}$