Elementarmathematik Beispiele

$x - 2 y = - \frac{26}{5}$ , $x + 3 y = - \frac{36}{5}$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{26}{5} \\ - \frac{36}{5} \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & 3 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & 3 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 3 - 1 \cdot - 2$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - 1 \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$3 + 2$

Schritt 2.3.2

Addiere $3$ und $2$ .

$5$

$D = 5$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - \frac{26}{5} \\ - \frac{36}{5} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - \frac{26}{5} & - 2 \\ - \frac{36}{5} & 3 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- \frac{26}{5} \cdot 3 - (- \frac{36}{5} \cdot - 2)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere $- \frac{26}{5} \cdot 3$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (\frac{26}{5}) - (- \frac{36}{5} \cdot - 2)$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{26}{5}$ .

$\frac{- 3 \cdot 26}{5} - (- \frac{36}{5} \cdot - 2)$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $26$ .

$\frac{- 78}{5} - (- \frac{36}{5} \cdot - 2)$

Schritt 4.2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{78}{5} - (- \frac{36}{5} \cdot - 2)$

Schritt 4.2.2.1.3

Multipliziere $- \frac{36}{5} \cdot - 2$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- \frac{78}{5} - (2 (\frac{36}{5}))$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{36}{5}$ .

$- \frac{78}{5} - \frac{2 \cdot 36}{5}$

Schritt 4.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$- \frac{78}{5} - \frac{72}{5}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 78 - 72}{5}$

Schritt 4.2.2.3

Subtrahiere $72$ von $- 78$ .

$\frac{- 150}{5}$

Schritt 4.2.2.4

Dividiere $- 150$ durch $5$ .

$- 30$

$D_{x} = - 30$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $5$ for $D$ and $- 30$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 30}{5}$

Schritt 4.5

Dividiere $- 30$ durch $5$ .

$x = - 6$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - \frac{26}{5} \\ - \frac{36}{5} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - \frac{26}{5} \\ 1 & - \frac{36}{5} \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (- \frac{36}{5}) - - \frac{26}{5}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $- \frac{36}{5}$ mit $1$ .

$- \frac{36}{5} - - \frac{26}{5}$

Schritt 5.2.2.1.2

Multipliziere $- - \frac{26}{5}$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{36}{5} + 1 (\frac{26}{5})$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{26}{5}$ mit $1$ .

$- \frac{36}{5} + \frac{26}{5}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 36 + 26}{5}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $- 36$ und $26$ .

$\frac{- 10}{5}$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $- 10$ durch $5$ .

$- 2$

$D_{y} = - 2$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $5$ for $D$ and $- 2$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 2}{5}$

Schritt 5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2}{5}$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = - 6$

$y = - \frac{2}{5}$