Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{2} - 5 y^{2} = - 62$ , $3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Step 1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y^{2} = - 62 - 2 x^{2}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Step 2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y^{2} = - 62 - 2 x^{2}$ durch $- 5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y^{2} = - 62 - 2 x^{2}$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{- 62}{- 5} + \frac{- 2 x^{2}}{- 5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{- 62}{- 5} + \frac{- 2 x^{2}}{- 5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 62}{- 5} + \frac{- 2 x^{2}}{- 5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

$y^{2} = \frac{- 62}{- 5} + \frac{- 2 x^{2}}{- 5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

$y^{2} = \frac{- 62}{- 5} + \frac{- 2 x^{2}}{- 5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

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Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} = \frac{62}{5} + \frac{- 2 x^{2}}{- 5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} = \frac{62}{5} + \frac{2 x^{2}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

$y^{2} = \frac{62}{5} + \frac{2 x^{2}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

$y^{2} = \frac{62}{5} + \frac{2 x^{2}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

$y^{2} = \frac{62}{5} + \frac{2 x^{2}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Step 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{62}{5} + \frac{2 x^{2}}{5}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Step 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{62}{5} + \frac{2 x^{2}}{5}}$ .

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Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{62 + 2 x^{2}}{5}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Faktorisiere $2$ aus $62 + 2 x^{2}$ heraus.

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Faktorisiere $2$ aus $62$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 31 + 2 x^{2}}{5}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 31 + 2 x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (31 + x^{2})}{5}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (31 + x^{2})}{5}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Schreibe $\sqrt{\frac{2 (31 + x^{2})}{5}}$ als $\frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})}}{\sqrt{5}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})}}{\sqrt{5}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2})} \sqrt{5}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Vereinfache den Zähler.

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Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (31 + x^{2}) \cdot 5}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

$y = \pm \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

$y = \pm \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Step 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} = 75$

Step 6

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} = 75 - 3 x^{2}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Step 7

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} = 75 - 3 x^{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} = 75 - 3 x^{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{75}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Vereinfache die linke Seite.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{75}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{75}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y^{2} = \frac{75}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y^{2} = \frac{75}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}, - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Vereinfache die rechte Seite.

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Vereinfache jeden Term.

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Dividiere $75$ durch $3$ .

$y^{2} = 25 + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y^{2} = 25 + \frac{3 (- x^{2})}{3}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y^{2} = 25 + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 25 + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 25 + \frac{- x^{2}}{1}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Dividiere $- x^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = 25 - x^{2}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y^{2} = 25 - x^{2}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y^{2} = 25 - x^{2}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y^{2} = 25 - x^{2}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y^{2} = 25 - x^{2}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}, - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y^{2} = 25 - x^{2}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Step 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Step 9

Vereinfache $\pm \sqrt{25 - x^{2}}$ .

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Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Step 10

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (31 + x^{2})}}{5}$

Step 11

Zeichne einen Graph um den Schnittpunkt der Gleichungen zu ermitteln. Der Schnittpunkt des Gleichungssystems ist die Lösung.

$(3, 4)$

$(3, - 4)$

$(- 3, 4)$

$(- 3, - 4)$

Step 12