Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{21} y = \frac{221}{2}$ , $x - \frac{1}{2} y = - 84$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{21}$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{21}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{21}$

Schritt 2.3.2

Um $- \frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21}$

Schritt 2.3.3

Um $- \frac{1}{21}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $84$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{21}{4 \cdot 21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $21$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{21}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{21 \cdot 4}$

Schritt 2.3.4.4

Mutltipliziere $21$ mit $4$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{84}$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 21 - 4}{84}$

Schritt 2.3.6

Subtrahiere $4$ von $- 21$ .

$\frac{- 25}{84}$

Schritt 2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{25}{84}$

$D = - \frac{25}{84}$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{221}{2} & \frac{1}{21} \\ - 84 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$\frac{221}{2} (- \frac{1}{2}) - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere $\frac{221}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{221}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{221}{2 \cdot 2} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{221}{4} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Faktorisiere $21$ aus $- 84$ heraus.

$- \frac{221}{4} - (21 (- 4) \frac{1}{21})$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{221}{4} - (21 \cdot - 4 \frac{1}{21})$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{221}{4} - - 4$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- \frac{221}{4} + 4$

Schritt 4.2.2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 4.2.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 221 + 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{- 221 + 16}{4}$

Schritt 4.2.2.5.2

Addiere $- 221$ und $16$ .

$\frac{- 205}{4}$

Schritt 4.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{205}{4}$

$D_{x} = - \frac{205}{4}$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{205}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- \frac{205}{4}}{- \frac{25}{84}}$

Schritt 4.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{\frac{205}{4}}{\frac{25}{84}}$

Schritt 4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{205}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $5$ aus $205$ heraus.

$x = \frac{5 (41)}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Schritt 4.7.2

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Schritt 4.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Schritt 4.7.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{84}{5}$

Schritt 4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $4$ aus $84$ heraus.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 (21)}{5}$

Schritt 4.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 \cdot 21}{5}$

Schritt 4.8.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 41 (\frac{21}{5})$

Schritt 4.9

Kombiniere $41$ und $\frac{21}{5}$ .

$x = \frac{41 \cdot 21}{5}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $41$ mit $21$ .

$x = \frac{861}{5}$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{221}{2} \\ 1 & - 84 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$\frac{1}{2} \cdot - 84 - \frac{221}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 84$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 42)) - \frac{221}{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 42) - \frac{221}{2}$

Schritt 5.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 42 - \frac{221}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Um $- 42$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 42 \cdot \frac{2}{2} - \frac{221}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Kombiniere $- 42$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 42 \cdot 2}{2} - \frac{221}{2}$

Schritt 5.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 42 \cdot 2 - 221}{2}$

Schritt 5.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 42$ mit $2$ .

$\frac{- 84 - 221}{2}$

Schritt 5.2.2.5.2

Subtrahiere $221$ von $- 84$ .

$\frac{- 305}{2}$

Schritt 5.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{305}{2}$

$D_{y} = - \frac{305}{2}$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{305}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- \frac{305}{2}}{- \frac{25}{84}}$

Schritt 5.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{\frac{305}{2}}{\frac{25}{84}}$

Schritt 5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{305}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $5$ aus $305$ heraus.

$y = \frac{5 (61)}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Schritt 5.7.2

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Schritt 5.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Schritt 5.7.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{84}{5}$

Schritt 5.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.8.1

Faktorisiere $2$ aus $84$ heraus.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 (42)}{5}$

Schritt 5.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 \cdot 42}{5}$

Schritt 5.8.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 61 (\frac{42}{5})$

Schritt 5.9

Kombiniere $61$ und $\frac{42}{5}$ .

$y = \frac{61 \cdot 42}{5}$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $61$ mit $42$ .

$y = \frac{2562}{5}$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = \frac{861}{5}$

$y = \frac{2562}{5}$