Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 1$ , $\frac{1}{4} x - \frac{1}{6} y = - \frac{3}{2}$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{1}{6})$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{12}$

Schritt 2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 - 1}{12}$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{12}$

Schritt 2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $12$ .

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Schritt 2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Schritt 2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Schritt 2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Schritt 2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{6}$

Schritt 2.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{6}$

$D = - \frac{1}{6}$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{2} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (- \frac{1}{6}) - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $- \frac{1}{6}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{6} - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$- \frac{1}{6} - (\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 4.2.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{6} - \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{6} - - \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{6} + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{6}$

Schritt 4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 3}{6}$

Schritt 4.2.2.5

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{2}{6}$

Schritt 4.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 4.2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6}$

Schritt 4.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3}$

$D_{x} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $\frac{1}{3}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{- \frac{1}{6}}$

Schritt 4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{1}{3} (- 1 \cdot 6)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot - 6$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Schritt 4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Schritt 4.7.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - 2$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{4} & - \frac{3}{2} \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{2}) - \frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 - 1}{4}$

Schritt 5.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$\frac{- 4}{4}$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$- 1$

$D_{y} = - 1$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $- 1$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 1}{- \frac{1}{6}}$

Schritt 5.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Schritt 5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = 1 \cdot 6$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$y = 6$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = - 2$

$y = 6$