Elementarmathematik Beispiele

$- (y - 4) = x + 9$ , $x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- (y - 4) - x = 9$

$x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y - - 4 - x = 9$

$x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- y + 4 - x = 9$

$x - \frac{8}{3} y = 0$

$- y + 4 - x = 9$

$x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 1.3

Bringe alle Terme, die keine Variable enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y - x = 9 - 4$

$x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$- y - x = 5$

$x - \frac{8}{3} y = 0$

$- y - x = 5$

$x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 1.4

Stelle $- y$ und $- x$ um.

$- x - y = 5$

$x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

$- x - y = 5$

$x - \frac{8 y}{3} = 0$

Schritt 1.6

Stelle die Terme um.

$- x - y = 5$

$x - (\frac{8}{3} y) = 0$

Schritt 1.7

Entferne die Klammern.

$- x - y = 5$

$x - \frac{8}{3} y = 0$

$- x - y = 5$

$x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 2

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - \frac{8}{3} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - \frac{8}{3} \end{array}]$ .

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Schritt 3.1

Write $[\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - \frac{8}{3} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - \frac{8}{3} \end{array} |$

Schritt 3.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- - \frac{8}{3} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $- - \frac{8}{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{8}{3}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $1$ .

$\frac{8}{3} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 1$

Schritt 3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 + 3}{3}$

Schritt 3.3.4

Addiere $8$ und $3$ .

$\frac{11}{3}$

$D = \frac{11}{3}$

Schritt 4

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 5

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 0 & - \frac{8}{3} \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $5 (- \frac{8}{3})$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 (\frac{8}{3}) + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{8}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{3} + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$\frac{- 40}{3} + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{40}{3} + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$- \frac{40}{3} + 0$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- \frac{40}{3}$ und $0$ .

$- \frac{40}{3}$

$D_{x} = - \frac{40}{3}$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $\frac{11}{3}$ for $D$ and $- \frac{40}{3}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- \frac{40}{3}}{\frac{11}{3}}$

Schritt 5.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{40}{3} \cdot \frac{3}{11}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{40}{3}$ in den Zähler.

$x = \frac{- 40}{3} \cdot \frac{3}{11}$

Schritt 5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 40}{3} \cdot \frac{3}{11}$

Schritt 5.6.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - 40 (\frac{1}{11})$

Schritt 5.7

Kombiniere $- 40$ und $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{- 40}{11}$

Schritt 5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{40}{11}$

Schritt 6

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 6.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Schritt 6.2

Find the determinant.

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Schritt 6.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 0 - 1 \cdot 5$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 - 1 \cdot 5$

Schritt 6.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$0 - 5$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$- 5$

$D_{y} = - 5$

Schritt 6.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 6.4

Substitute $\frac{11}{3}$ for $D$ and $- 5$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 5}{\frac{11}{3}}$

Schritt 6.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - 5 (\frac{3}{11})$

Schritt 6.6

Multipliziere $- 5 (\frac{3}{11})$ .

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Schritt 6.6.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3}{11}$ .

$y = \frac{- 5 \cdot 3}{11}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$y = \frac{- 15}{11}$

Schritt 6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{15}{11}$

Schritt 7

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = - \frac{40}{11}$

$y = - \frac{15}{11}$