Elementarmathematik Beispiele

$2 x - 5 y = - 2$ , $- \frac{1}{4} x + 2 y = 7$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot 2 - (- \frac{1}{4} \cdot - 5)$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 - (- \frac{1}{4} \cdot - 5)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{4} \cdot - 5$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$4 - (5 (\frac{1}{4}))$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{4}$ .

$4 - \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 4 - 5}{4}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 - 5}{4}$

Schritt 2.3.5.2

Subtrahiere $5$ von $16$ .

$\frac{11}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ 7 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 2 \cdot 2 - 7 \cdot - 5$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 - 7 \cdot - 5$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 5$ .

$- 4 + 35$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 4$ und $35$ .

$31$

$D_{x} = 31$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $\frac{11}{4}$ for $D$ and $31$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{31}{\frac{11}{4}}$

Schritt 4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = 31 (\frac{4}{11})$

Schritt 4.6

Multipliziere $31 (\frac{4}{11})$ .

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Schritt 4.6.1

Kombiniere $31$ und $\frac{4}{11}$ .

$x = \frac{31 \cdot 4}{11}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $31$ mit $4$ .

$x = \frac{124}{11}$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - \frac{1}{4} & 7 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot 7 - (- \frac{1}{4} \cdot - 2)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14 - (- \frac{1}{4} \cdot - 2)$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$14 - (\frac{- 1}{4} \cdot - 2)$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$14 - (\frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2)$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$14 - (\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1))$

Schritt 5.2.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 - (\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1))$

Schritt 5.2.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$14 - (\frac{- 1}{2} \cdot - 1)$

Schritt 5.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{- 1}{2}$ und $- 1$ .

$14 - \frac{- - 1}{2}$

Schritt 5.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$14 - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Um $14$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$14 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Kombiniere $14$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 5.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.5.1

Mutltipliziere $14$ mit $2$ .

$\frac{28 - 1}{2}$

Schritt 5.2.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $28$ .

$\frac{27}{2}$

$D_{y} = \frac{27}{2}$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $\frac{11}{4}$ for $D$ and $\frac{27}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{\frac{27}{2}}{\frac{11}{4}}$

Schritt 5.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{4}{11}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{2 (2)}{11}$

Schritt 5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{11}$

Schritt 5.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 27 (\frac{2}{11})$

Schritt 5.7

Kombiniere $27$ und $\frac{2}{11}$ .

$y = \frac{27 \cdot 2}{11}$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$y = \frac{54}{11}$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = \frac{124}{11}$

$y = \frac{54}{11}$