Elementarmathematik Beispiele

$x + 13 = y + 5$ , $z + 14 = x + 10$ , $y + 25 = z + 27$

Schritt 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 13 - y = 5$

$z + 14 = x + 10$

$y + 25 = z + 27$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die keine Variable enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - y = 5 - 13$

$z + 14 = x + 10$

$y + 25 = z + 27$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $13$ von $5$ .

$x - y = - 8$

$z + 14 = x + 10$

$y + 25 = z + 27$

$x - y = - 8$

$z + 14 = x + 10$

$y + 25 = z + 27$

Schritt 1.3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - y = - 8$

$z + 14 - x = 10$

$y + 25 = z + 27$

Schritt 1.4

Bringe alle Terme, die keine Variable enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - y = - 8$

$z - x = 10 - 14$

$y + 25 = z + 27$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $14$ von $10$ .

$x - y = - 8$

$z - x = - 4$

$y + 25 = z + 27$

$x - y = - 8$

$z - x = - 4$

$y + 25 = z + 27$

Schritt 1.5

Stelle $z$ und $- x$ um.

$x - y = - 8$

$- x + z = - 4$

$y + 25 = z + 27$

Schritt 1.6

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - y = - 8$

$- x + z = - 4$

$y + 25 - z = 27$

Schritt 1.7

Bringe alle Terme, die keine Variable enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.7.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - y = - 8$

$- x + z = - 4$

$y - z = 27 - 25$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $25$ von $27$ .

$x - y = - 8$

$- x + z = - 4$

$y - z = 2$

$x - y = - 8$

$- x + z = - 4$

$y - z = 2$

$x - y = - 8$

$- x + z = - 4$

$y - z = 2$

Schritt 2

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 8 \\ - 4 \\ 2 \end{array}]$

Schritt 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}]$ .

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Schritt 3.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 3.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 3.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 3.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 3.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Schritt 3.4

Berechne $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

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Schritt 3.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (0 \cdot - 1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$1 (0 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 (0 - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$1 \cdot - 1 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Schritt 3.5

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

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Schritt 3.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 1 + 1 (- - 1 + 0 \cdot 1) + 0$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \cdot - 1 + 1 (1 + 0 \cdot 1) + 0$

Schritt 3.5.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$1 \cdot - 1 + 1 (1 + 0) + 0$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1 \cdot - 1 + 1 \cdot 1 + 0$

Schritt 3.6

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 1 \cdot 1 + 0$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- 1 + 1 + 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0 + 0$

Schritt 3.6.3

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

$D = 0$

Schritt 4

Since the determinant is $0$ , the system cannot be solved using Cramer's Rule.