Elementarmathematik Beispiele

$r + \frac{2}{3} s = 4$ , $r - s = 3$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} r \\ s \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 1 - \frac{2}{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - \frac{2}{3}$

Schritt 2.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 \cdot 3 - 2}{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 - 2}{3}$

Schritt 2.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$\frac{- 5}{3}$

Schritt 2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{3}$

$D = - \frac{5}{3}$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $r$ by Cramer's Rule, which states that $r = \frac{D_{r}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $r$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & \frac{2}{3} \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$4 \cdot - 1 - 3 (\frac{2}{3})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 - 3 (\frac{2}{3})$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$- 4 + 3 (- 1) \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 + 3 \cdot - 1 \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 - 1 \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 4 - 2$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$- 6$

$D_{r} = - 6$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $r$ .

$r = \frac{D_{r}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $- \frac{5}{3}$ for $D$ and $- 6$ for $D_{r}$ in the formula.

$r = \frac{- 6}{- \frac{5}{3}}$

Schritt 4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r = - 6 (- \frac{3}{5})$

Schritt 4.6

Multipliziere $- 6 (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$r = 6 (\frac{3}{5})$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $6$ und $\frac{3}{5}$ .

$r = \frac{6 \cdot 3}{5}$

Schritt 4.6.3

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$r = \frac{18}{5}$

Schritt 5

Find the value of $s$ by Cramer's Rule, which states that $s = \frac{D_{s}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $s$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - 1 \cdot 4$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$3 - 4$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$- 1$

$D_{s} = - 1$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $s$ .

$s = \frac{D_{s}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $- \frac{5}{3}$ for $D$ and $- 1$ for $D_{s}$ in the formula.

$s = \frac{- 1}{- \frac{5}{3}}$

Schritt 5.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$s = \frac{1}{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$s = 1 (\frac{3}{5})$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $1$ .

$s = \frac{3}{5}$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$r = \frac{18}{5}$

$s = \frac{3}{5}$