Elementarmathematik Beispiele

$x + y + z = 8$ , $x - y + z = - 2$ , $2 x + 0 + 2 = 9$

Step 1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x + 2 = 9$

Step 2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 9 - 2$

Step 3

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 7$

Step 4

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 7 \end{array}]$

Step 5

Finde die Determinante von $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Stelle die Determinante auf durch Aufbrechen in kleinere Komponenten.

$D = - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$D = - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$D = - 1 (0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$D = - 1 (0 - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$D = - 1 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$D = 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$D = 2 - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$D = 2 - 1 (0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$D = 2 - 1 (0 - 2) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$D = 2 - 1 \cdot - 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$D = 2 + 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$D = 2 + 2 + 0 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1 \cdot 1)$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1)$

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 \cdot 0$

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$D = 2 + 2 + 0$

Addiere $2$ und $2$ .

$D = 4 + 0$

Addiere $4$ und $0$ .

$D = 4$

Step 6

Finde die Determinante von $[\begin{array}{c} 8 & 1 & 1 \\ - 2 & - 1 & 1 \\ 7 & 0 & 0 \end{array}]$ .

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Stelle die Determinante auf durch Aufbrechen in kleinere Komponenten.

$D_{x} = - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Vereinfache jeden Term.

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Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$D_{x} = - 1 (- 2 \cdot 0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$D_{x} = - 1 (0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$D_{x} = - 1 (0 - 7) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$D_{x} = - 1 \cdot - 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$D_{x} = 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$D_{x} = 7 - 1 (8 \cdot 0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$D_{x} = 7 - 1 \cdot - 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1))$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 - (- 2 \cdot 1))$

Multipliziere $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

Addiere $8$ und $2$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 \cdot 10$

Mutltipliziere $0$ mit $10$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0$

Addiere $7$ und $7$ .

$D_{x} = 14 + 0$

Addiere $14$ und $0$ .

$D_{x} = 14$

Step 7

Finde die Determinante von $[\begin{array}{c} 1 & 8 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 2 & 7 & 0 \end{array}]$ .

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Stelle die Determinante auf durch Aufbrechen in kleinere Komponenten.

$D_{y} = 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} |$ mit $1$ .

$D_{y} = | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$D_{y} = 1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$D_{y} = 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$D_{y} = 7 + 4 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Addiere $7$ und $4$ .

$D_{y} = 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$D_{y} = 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Subtrahiere $16$ von $7$ .

$D_{y} = 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

Subtrahiere $8$ von $- 2$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

Mutltipliziere $0$ mit $- 10$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0$

Addiere $11$ und $9$ .

$D_{y} = 20 + 0$

Addiere $20$ und $0$ .

$D_{y} = 20$

Step 8

Finde die Determinante von $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 8 \\ 1 & - 1 & - 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}]$ .

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Stelle die Determinante auf durch Aufbrechen in kleinere Komponenten.

$D_{z} = - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$D_{z} = - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$D_{z} = - 1 (7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$D_{z} = - 1 (7 + 4) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Addiere $7$ und $4$ .

$D_{z} = - 1 \cdot 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$D_{z} = - 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$D_{z} = - 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Subtrahiere $16$ von $7$ .

$D_{z} = - 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

Subtrahiere $8$ von $- 2$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

Mutltipliziere $0$ mit $- 10$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0$

Addiere $- 11$ und $9$ .

$D_{z} = - 2 + 0$

Addiere $- 2$ und $0$ .

$D_{z} = - 2$

Step 9

Bestimme den Wert von $x$ mithilfe der Cramerschen Regel, welche besagt, dass $x = \frac{D_{x}}{D}$ . In diesem Fall: $x = \frac{14}{4}$ .

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Entferne die Klammern.

$x = \frac{14}{4}$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $4$ .

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Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$x = \frac{2 (7)}{4}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{7}{2}$

Step 10

Bestimme den Wert von $y$ mithilfe der Cramerschen Regel, welche besagt, dass $y = \frac{D_{y}}{D}$ . In diesem Fall: $y = \frac{20}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Entferne die Klammern.

$y = \frac{20}{4}$

Dividiere $20$ durch $4$ .

$y = 5$

Step 11

Bestimme den Wert von $z$ mithilfe der Cramerschen Regel, welche besagt, dass $z = \frac{D_{z}}{D}$ . In diesem Fall: $z = \frac{- 2}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Entferne die Klammern.

$z = \frac{- 2}{4}$

Vereinfache $\frac{- 2}{4}$ .

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Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$z = \frac{2 (- 1)}{4}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Forme den Ausdruck um.

$z = \frac{- 1}{2}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{1}{2}$

Step 12

Die unter Verwendung der Cramerschen Regel ermittelte Lösung des Gleichungssystems.

$x = \frac{7}{2}, y = 5, z = - \frac{1}{2}$