Elementarmathematik Beispiele

$(- \sqrt{255}, 3 + \sqrt{2})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(- \sqrt{255})}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{255}$ an.

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{255}}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$r = \sqrt{1 {\sqrt{255}}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere ${\sqrt{255}}^{2}$ mit $1$ .

$r = \sqrt{{\sqrt{255}}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{255}}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3

Schreibe ${\sqrt{255}}^{2}$ als $255$ um.

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Schritt 3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{255}$ als $255^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{{(255^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{255^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{255^{\frac{2}{2}} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{255^{\frac{2}{2}} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{255 + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{255 + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.4

Schreibe ${(3 + \sqrt{2})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})$ um.

$r = \sqrt{255 + (3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + (3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Multipliziere $(3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = \sqrt{255 + 3 (3 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (3 + \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r = \sqrt{255 + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} (3 + \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r = \sqrt{255 + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 3 + \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 3 + \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 3 + \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.1.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Addiere $9$ und $2$ .

$r = \sqrt{255 + 11 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.3

Addiere $3 \sqrt{2}$ und $3 \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{255 + 11 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + 11 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Addiere $255$ und $11$ .

$r = \sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{3 + \sqrt{2}}{- \sqrt{255}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $- \frac{3 \sqrt{255} + \sqrt{510}}{255}$ ist $θ = 164.54766936 °$ .

$r = \sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = 164.54766936 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(\sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}, 164.54766936 °)$