Elementarmathematik Beispiele

$(\frac{7}{4}, - \frac{5}{8})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(\frac{7}{4})}^{2} + {(- \frac{5}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{4}$ an.

$r = \sqrt{\frac{7^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{5}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4^{2}} + {(- \frac{5}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + {(- \frac{5}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{8}$ an.

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{8}$ an.

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{8^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{8^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + 1 (\frac{5^{2}}{8^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{8^{2}}$ mit $1$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{5^{2}}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{25}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8

Potenziere $8$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9

Um $\frac{49}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $64$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $\frac{49}{16}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{49 \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$r = \sqrt{\frac{49 \cdot 4}{64} + \frac{25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{49 \cdot 4}{64} + \frac{25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{49 \cdot 4 + 25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $49$ mit $4$ .

$r = \sqrt{\frac{196 + 25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.12.2

Addiere $196$ und $25$ .

$r = \sqrt{\frac{221}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{221}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.13

Schreibe $\sqrt{\frac{221}{64}}$ als $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{64}}$ um.

$r = \frac{\sqrt{221}}{\sqrt{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.14.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$r = \frac{\sqrt{221}}{\sqrt{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \frac{\sqrt{221}}{8}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{221}}{8}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{221}}{8}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \frac{\sqrt{221}}{8}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- \frac{5}{8}}{\frac{7}{4}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $- \frac{5}{14}$ ist $θ = 340.34617594 °$ .

$r = \frac{\sqrt{221}}{8}$

$θ = 340.34617594 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(\frac{\sqrt{221}}{8}, 340.34617594 °)$