Elementarmathematik Beispiele

$(\frac{- 5}{2}, \frac{π}{6})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(\frac{- 5}{2})}^{2} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = \sqrt{{(- \frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$r = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{6}$ an.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{π^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8

Potenziere $6$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9

Um $\frac{25}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $\frac{25}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 9}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 9}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 9 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $25$ mit $9$ .

$r = \sqrt{\frac{225 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.13

Schreibe $\sqrt{\frac{225 + π^{2}}{36}}$ als $\frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$ um.

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.14.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{\sqrt{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{π}{6}}{\frac{- 5}{2}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $- \frac{π}{15}$ ist $θ = 168.17098164 °$ .

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{6}$

$θ = 168.17098164 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(\frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{6}, 168.17098164 °)$