Elementarmathematik Beispiele

$(- 4, - \frac{p}{4})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- \frac{p}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$r = \sqrt{16 + {(- \frac{p}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{p}{4}$ an.

$r = \sqrt{16 + {(- 1)}^{2} {(\frac{p}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{p}{4}$ an.

$r = \sqrt{16 + {(- 1)}^{2} (\frac{p^{2}}{4^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 + {(- 1)}^{2} (\frac{p^{2}}{4^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$r = \sqrt{16 + 1 (\frac{p^{2}}{4^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{p^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{p^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{p^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$r = \sqrt{16 \cdot \frac{16}{16} + \frac{p^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Kombiniere $16$ und $\frac{16}{16}$ .

$r = \sqrt{\frac{16 \cdot 16}{16} + \frac{p^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{16 \cdot 16 + p^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $16$ mit $16$ .

$r = \sqrt{\frac{256 + p^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10

Schreibe $\frac{256 + p^{2}}{16}$ als ${(\frac{1}{4})}^{2} (256 + p^{2})$ um.

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Schritt 3.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $256 + p^{2}$ heraus.

$r = \sqrt{\frac{1^{2} (256 + p^{2})}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$r = \sqrt{\frac{1^{2} (256 + p^{2})}{4^{2} \cdot 1}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (256 + p^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$r = \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (256 + p^{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (256 + p^{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{256 + p^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sqrt{256 + p^{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{256 + p^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{256 + p^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \frac{\sqrt{256 + p^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- \frac{p}{4}}{- 4})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\frac{p}{16}$ ist $θ = 0 °$ .

$r = \frac{\sqrt{256 + p^{2}}}{4}$

$θ = 0 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(\frac{\sqrt{256 + p^{2}}}{4}, 0 °)$