Elementarmathematik Beispiele

$x = - \frac{y^{2}}{2} - 3 y - 2.5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{y^{2}}{2} - 3 y - 2.5$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 3$

$c = - 2.5$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 3}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = \frac{- 3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 3}{\frac{- 2}{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$d = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.1.3.2.3

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$d = 3$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 2.5 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$e = - 2.5 - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - 2.5 - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.1.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = - 2.5 - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$e = - 2.5 - \frac{9}{- 2}$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 2.5 - - \frac{9}{2}$

Schritt 1.1.4.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{9}{2}$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 2.5 + 1 (\frac{9}{2})$

Schritt 1.1.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $1$ .

$e = - 2.5 + \frac{9}{2}$

Schritt 1.1.4.2.2

Um $- 2.5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e = - 2.5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 1.1.4.2.3

Kombiniere $- 2.5$ und $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 2.5 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 2.5 \cdot 2 + 9}{2}$

Schritt 1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 2.5$ mit $2$ .

$e = \frac{- 5 + 9}{2}$

Schritt 1.1.4.2.5.2

Addiere $- 5$ und $9$ .

$e = \frac{4}{2}$

Schritt 1.1.4.2.6

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = 2$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{2} {(y + 3)}^{2} + 2$ ein.

$- \frac{1}{2} {(y + 3)}^{2} + 2$

Schritt 1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{2} \cdot {(y + 3)}^{2} + 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = - 3$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, - 3)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 5.3.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{3}{2}, - 3)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 3$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(2, - 3)$

Brennpunkt: $(\frac{3}{2}, - 3)$

Symmetrieachse: $y = - 3$

Leitlinie: $x = \frac{5}{2}$

Schritt 10