Elementarmathematik Beispiele

$16 x^{2} - 25 y^{2} - 160 x - 250 y \cdot 75 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $16 x^{2} - 160 x$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 16$

$b = - 160$

$c = 0$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 160}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 160$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 160$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 80}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 80}{2 (16)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 80}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 80}{16}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 80$ und $16$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $- 80$ heraus.

$d = \frac{16 \cdot - 5}{16}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{16 \cdot - 5}{16 (1)}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{16 \cdot - 5}{16 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 5}{1}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.4

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$d = - 5$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 160)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 160$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{25600}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$e = 0 - \frac{25600}{64}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Dividiere $25600$ durch $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 400$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $400$ .

$e = 0 - 400$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $400$ von $0$ .

$e = - 400$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $16 {(x - 5)}^{2} - 400$ ein.

$16 {(x - 5)}^{2} - 400$

Schritt 1.2

Setze $16 {(x - 5)}^{2} - 400$ für $16 x^{2} - 160 x$ ein in der Gleichung $16 x^{2} - 25 y^{2} - 160 x - 250 y \cdot 75 = 0$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 400 - 25 y^{2} - 250 y \cdot 75 = 0$

Schritt 1.3

Bringe $- 400$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $400$ auf beiden Seiten.

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 y^{2} - 250 y \cdot 75 = 0 + 400$

Schritt 1.4

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 25 y^{2} - 250 y \cdot 75$ an.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $75$ mit $- 250$ .

$- 25 y^{2} - 18750 y$

Schritt 1.4.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 25$

$b = - 18750$

$c = 0$

Schritt 1.4.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.4.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.4.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 18750}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18750$ und $2$ .

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Schritt 1.4.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18750$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9375}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.4.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9375}{2 (- 25)}$

Schritt 1.4.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 9375}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.4.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 9375}{- 25}$

Schritt 1.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9375$ und $- 25$ .

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Schritt 1.4.4.2.2.1

Faktorisiere $- 25$ aus $- 9375$ heraus.

$d = \frac{- 25 (375)}{- 25}$

Schritt 1.4.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.4.2.2.2.1

Faktorisiere $- 25$ aus $- 25$ heraus.

$d = \frac{- 25 \cdot 375}{- 25 \cdot 1}$

Schritt 1.4.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 25 \cdot 375}{- 25 \cdot 1}$

Schritt 1.4.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{375}{1}$

Schritt 1.4.4.2.2.2.4

Dividiere $375$ durch $1$ .

$d = 375$

Schritt 1.4.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 18750)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

Schritt 1.4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.5.2.1.1

Potenziere $- 18750$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{351562500}{4 \cdot - 25}$

Schritt 1.4.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$e = 0 - \frac{351562500}{- 100}$

Schritt 1.4.5.2.1.3

Dividiere $351562500$ durch $- 100$ .

$e = 0 - - 3515625$

Schritt 1.4.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3515625$ .

$e = 0 + 3515625$

Schritt 1.4.5.2.2

Addiere $0$ und $3515625$ .

$e = 3515625$

Schritt 1.4.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625$ ein.

$- 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625$

Schritt 1.5

Setze $- 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625$ für $- 25 y^{2} - 250 y \cdot 75$ ein in der Gleichung $16 x^{2} - 25 y^{2} - 160 x - 250 y \cdot 75 = 0$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625 = 0 + 400$

Schritt 1.6

Bringe $3515625$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $3515625$ auf beiden Seiten.

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} = 0 + 400 - 3515625$

Schritt 1.7

Vereinfache $0 + 400 - 3515625$ .

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Schritt 1.7.1

Addiere $0$ und $400$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} = 400 - 3515625$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $3515625$ von $400$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} = - 3515225$

Schritt 1.8

Vertausche das Vorzeichen jedes Terms der Gleichung, sodass der Term auf der rechten Seite positiv ist.

$- 16 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y + 375)}^{2} = 3515225$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $3515225$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$- \frac{16 {(x - 5)}^{2}}{3515225} + \frac{25 {(y + 375)}^{2}}{3515225} = \frac{3515225}{3515225}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y + 375)}^{2}}{140609} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{\frac{3515225}{16}} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = \sqrt{140609}$

$b = \frac{5 \sqrt{140609}}{4}$

$k = - 375$

$h = 5$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(5, - 375)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\sqrt{140609})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Schreibe ${\sqrt{140609}}^{2}$ als $140609$ um.

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Schritt 5.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{140609}$ als $140609^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(140609^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{140609^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{140609^{\frac{2}{2}} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{140609^{\frac{2}{2}} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{140609^{1} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{140609 + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 \sqrt{140609}}{4}$ an.

$\sqrt{140609 + \frac{{(5 \sqrt{140609})}^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{140609}$ an.

$\sqrt{140609 + \frac{5^{2} {\sqrt{140609}}^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 {\sqrt{140609}}^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe ${\sqrt{140609}}^{2}$ als $140609$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{140609}$ als $140609^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{140609 + \frac{25 {(140609^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Schritt 5.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Schritt 5.3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{1}}{4^{2}}}$

Schritt 5.3.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609}{4^{2}}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.4.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609}{16}}$

Schritt 5.3.4.2

Mutltipliziere $25$ mit $140609$ .

$\sqrt{140609 + \frac{3515225}{16}}$

Schritt 5.3.5

Um $140609$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{140609 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3515225}{16}}$

Schritt 5.3.6

Kombiniere $140609$ und $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{140609 \cdot 16}{16} + \frac{3515225}{16}}$

Schritt 5.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{140609 \cdot 16 + 3515225}{16}}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.8.1

Mutltipliziere $140609$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{2249744 + 3515225}{16}}$

Schritt 5.3.8.2

Addiere $2249744$ und $3515225$ .

$\sqrt{\frac{5764969}{16}}$

Schritt 5.3.9

Schreibe $\sqrt{\frac{5764969}{16}}$ als $\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{16}}$ um.

$\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{16}}$

Schritt 5.3.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.10.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 5.3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{5764969}}{4}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(5, - 375 + \sqrt{140609})$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(5, - 375 - \sqrt{140609})$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm a)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(5, - 375 + \sqrt{140609}), (5, - 375 - \sqrt{140609})$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4}), (5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Schritt 8

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 8.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 8.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{4^{2}}}{\sqrt{5764969}}}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{4^{2}}}{\sqrt{5764969}} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 8.3.2

Kombinieren.

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{4^{2}} \cdot 1}{\sqrt{5764969} \cdot 4}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot 1}{\sqrt{5764969} \cdot 4}$

Schritt 8.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{140609}}{16}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{16}}{\sqrt{5764969} \cdot 4}$

Schritt 8.3.3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{5764969}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{16}}{4 \sqrt{5764969}}$

Schritt 8.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{1}{4 \sqrt{5764969}}$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4 \sqrt{5764969}}$ mit $\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{5764969}}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} (\frac{1}{4 \sqrt{5764969}} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{5764969}})$

Schritt 8.3.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4 \sqrt{5764969}}$ mit $\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{5764969}}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \sqrt{5764969} \sqrt{5764969}}$

Schritt 8.3.6.2

Bewege $\sqrt{5764969}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 (\sqrt{5764969} \sqrt{5764969})}$

Schritt 8.3.6.3

Potenziere $\sqrt{5764969}$ mit $1$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 ({\sqrt{5764969}}^{1} \sqrt{5764969})}$

Schritt 8.3.6.4

Potenziere $\sqrt{5764969}$ mit $1$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 ({\sqrt{5764969}}^{1} {\sqrt{5764969}}^{1})}$

Schritt 8.3.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 {\sqrt{5764969}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 {\sqrt{5764969}}^{2}}$

Schritt 8.3.6.7

Schreibe ${\sqrt{5764969}}^{2}$ als $5764969$ um.

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Schritt 8.3.6.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5764969}$ als $5764969^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 {(5764969^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.6.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.6.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.6.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.6.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.6.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{1}}$

Schritt 8.3.6.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969}$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $5764969$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{23059876}$

Schritt 8.3.8

Multipliziere $\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{23059876}$ .

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Schritt 8.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{140609}}{16}$ mit $\frac{\sqrt{5764969}}{23059876}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609} \sqrt{5764969}}{16 \cdot 23059876}$

Schritt 8.3.8.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{5 \sqrt{5764969 \cdot 140609}}{16 \cdot 23059876}$

Schritt 8.3.8.3

Mutltipliziere $5764969$ mit $140609$ .

$\frac{5 \sqrt{810606526121}}{16 \cdot 23059876}$

Schritt 8.3.8.4

Mutltipliziere $16$ mit $23059876$ .

$\frac{5 \sqrt{810606526121}}{368958016}$

Schritt 8.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.9.1

Schreibe $810606526121$ als $140609^{2} \cdot 41$ um.

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Schritt 8.3.9.1.1

Faktorisiere $19770890881$ aus $810606526121$ heraus.

$\frac{5 \sqrt{19770890881 (41)}}{368958016}$

Schritt 8.3.9.1.2

Schreibe $19770890881$ als $140609^{2}$ um.

$\frac{5 \sqrt{140609^{2} \cdot 41}}{368958016}$

Schritt 8.3.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{5 \cdot 140609 \sqrt{41}}{368958016}$

Schritt 8.3.9.3

Mutltipliziere $5$ mit $140609$ .

$\frac{703045 \sqrt{41}}{368958016}$

Schritt 8.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $703045$ und $368958016$ .

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Schritt 8.3.10.1

Faktorisiere $140609$ aus $703045 \sqrt{41}$ heraus.

$\frac{140609 (5 \sqrt{41})}{368958016}$

Schritt 8.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.10.2.1

Faktorisiere $140609$ aus $368958016$ heraus.

$\frac{140609 (5 \sqrt{41})}{140609 (2624)}$

Schritt 8.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{140609 (5 \sqrt{41})}{140609 \cdot 2624}$

Schritt 8.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \sqrt{41}}{2624}$

Schritt 9

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$

Schritt 10

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$

Schritt 10.2

Vereinfache $\frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$ .

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - 5) - 375$

Schritt 10.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Schritt 10.2.1.3

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $x$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Schritt 10.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 10.2.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot (5 (- 1)) - 375$

Schritt 10.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot (5 \cdot - 1) - 375$

Schritt 10.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 x}{5} + 4 \cdot - 1 - 375$

Schritt 10.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{5} - 4 - 375$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $375$ von $- 4$ .

$y = \frac{4 x}{5} - 379$

Schritt 11

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$

Schritt 11.2

Vereinfache $- \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - 5) - 375$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{5}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot - 5 - 375$

Schritt 11.2.1.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot (5 (- 1)) - 375$

Schritt 11.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot (5 \cdot - 1) - 375$

Schritt 11.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - 4 \cdot - 1 - 375$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + 4 - 375$

Schritt 11.2.1.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + 4 - 375$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $375$ von $4$ .

$y = - \frac{4 x}{5} - 371$

Schritt 12

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{4 x}{5} - 379, y = - \frac{4 x}{5} - 371$

Schritt 13

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(5, - 375)$

Scheitelpunkte: $(5, - 375 + \sqrt{140609}), (5, - 375 - \sqrt{140609})$

Brennpunkte: $(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4}), (5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Exzentrizität: $(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4}), (5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Fokaler Parameter: $\frac{5 \sqrt{41}}{2624}$

Asymptoten: $y = \frac{4 x}{5} - 379$ , $y = - \frac{4 x}{5} - 371$

Schritt 14