Elementarmathematik Beispiele

${(x - 3)}^{2} = - (y - 1)$

Schritt 1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $- (y - 1) = {(x - 3)}^{2}$ um.

$- (y - 1) = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache $- (y - 1)$ .

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y - - 1 = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- y + 1 = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 1.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = {(x - 3)}^{2} - 1$

Schritt 1.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = {(x - 3)}^{2} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = {(x - 3)}^{2} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{{(x - 3)}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{{(x - 3)}^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot {(x - 3)}^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot {(x - 3)}^{2}$ als $- {(x - 3)}^{2}$ um.

$y = - {(x - 3)}^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.4.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y = - {(x - 3)}^{2} + 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 1$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, 1)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, \frac{3}{4})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 3$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{5}{4}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(3, 1)$

Brennpunkt: $(3, \frac{3}{4})$

Symmetrieachse: $x = 3$

Leitlinie: $y = \frac{5}{4}$

Schritt 10