Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} + 13 x + 30 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} + 13 x = - 30$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 13 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 13$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{13}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{13}{2}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{13^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $13$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{169}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{169}{4}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{169}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{169}{4}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + \frac{13}{2})}^{2} - \frac{169}{4}$ ein.

${(x + \frac{13}{2})}^{2} - \frac{169}{4}$

Schritt 3

Setze ${(x + \frac{13}{2})}^{2} - \frac{169}{4}$ für $x^{2} + 13 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 13 x = - 30$ .

${(x + \frac{13}{2})}^{2} - \frac{169}{4} + y^{2} = - 30$

Schritt 4

Bringe $- \frac{169}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{169}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{13}{2})}^{2} + y^{2} = - 30 + \frac{169}{4}$

Schritt 5

Vereinfache $- 30 + \frac{169}{4}$ .

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Schritt 5.1

Um $- 30$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{13}{2})}^{2} + y^{2} = - 30 \cdot \frac{4}{4} + \frac{169}{4}$

Schritt 5.2

Kombiniere $- 30$ und $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{13}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{- 30 \cdot 4}{4} + \frac{169}{4}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{13}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{- 30 \cdot 4 + 169}{4}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $- 30$ mit $4$ .

${(x + \frac{13}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{- 120 + 169}{4}$

Schritt 5.4.2

Addiere $- 120$ und $169$ .

${(x + \frac{13}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{49}{4}$

Schritt 6

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 7

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{7}{2}$

$h = - \frac{13}{2}$

$k = 0$

Schritt 8

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(- \frac{13}{2}, 0)$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(- \frac{13}{2}, 0)$

Radius: $\frac{7}{2}$

Schritt 10