Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (x) + \ln (x^{2} - 4) - \ln (x - 2)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (x (x^{2} - 4)) - \ln (x - 2)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \ln (8)$ , indem du $\frac{2}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (8^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Schritt 3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\ln ({(2^{3})}^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Schritt 3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (2^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (2^{2}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Schritt 3.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x^{2} - 2^{2})}{x - 2})$

Schritt 3.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 2})$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 2})$

Schritt 3.7.2

Dividiere $x (x + 2)$ durch $1$ .

$\ln (4) + \ln (x (x + 2))$

Schritt 3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (4) + \ln (x \cdot x + x \cdot 2)$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (4) + \ln (x^{2} + x \cdot 2)$

Schritt 3.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (4) + \ln (x^{2} + 2 x)$

Schritt 4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 (x^{2} + 2 x))$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (4 x^{2} + 4 (2 x))$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\ln (4 x^{2} + 8 x)$