Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3}{2} \cdot \ln ({(16 x)}^{10}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $16 x$ an.

$\frac{3}{2} \cdot \ln (16^{10} x^{10}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.2

Potenziere $16$ mit $10$ .

$\frac{3}{2} \cdot \ln (1099511627776 x^{10}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.3

Vereinfache $\frac{3}{2} \ln (1099511627776 x^{10})$ , indem du $\frac{3}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(1099511627776 x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.4

Wende die Produktregel auf $1099511627776 x^{10}$ an.

$\ln (1099511627776^{\frac{3}{2}} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.5

Schreibe $1099511627776$ als $1048576^{2}$ um.

$\ln ({(1048576^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (1048576^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (1048576^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (1048576^{3} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.8

Potenziere $1048576$ mit $3$ .

$\ln (1152921504606850000 {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.9

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{10})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{10 (\frac{3}{2})}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\ln (1152921504606850000 x^{2 (5) \frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (1152921504606850000 x^{2 \cdot 5 \frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (1152921504606850000 x^{5 \cdot 3}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.9.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Schritt 1.10

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \frac{2}{5} \cdot \ln (2^{30} y^{30})$

Schritt 1.11

Potenziere $2$ mit $30$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \frac{2}{5} \cdot \ln (1073741824 y^{30})$

Schritt 1.12

Multipliziere $- \frac{2}{5} \ln (1073741824 y^{30})$ .

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Schritt 1.12.1

Stelle $\ln (1073741824 y^{30})$ und $\frac{2}{5}$ um.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - (\frac{2}{5} \ln (1073741824 y^{30}))$

Schritt 1.12.2

Vereinfache $\frac{2}{5} \ln (1073741824 y^{30})$ , indem du $\frac{2}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln ({(1073741824 y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Schritt 1.13

Wende die Produktregel auf $1073741824 y^{30}$ an.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (1073741824^{\frac{2}{5}} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Schritt 1.14

Schreibe $1073741824$ als $64^{5}$ um.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln ({(64^{5})}^{\frac{2}{5}} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Schritt 1.15

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (64^{5 (\frac{2}{5})} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Schritt 1.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (64^{5 (\frac{2}{5})} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Schritt 1.16.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (64^{2} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Schritt 1.17

Potenziere $64$ mit $2$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Schritt 1.18

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{30})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 1.18.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{30 (\frac{2}{5})})$

Schritt 1.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.18.2.1

Faktorisiere $5$ aus $30$ heraus.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{5 (6) \frac{2}{5}})$

Schritt 1.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{5 \cdot 6 \frac{2}{5}})$

Schritt 1.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{6 \cdot 2})$

Schritt 1.18.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{12})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{1152921504606850000 x^{15}}{4096 y^{12}})$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1152921504606850000$ und $4096$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $16$ aus $1152921504606850000 x^{15}$ heraus.

$\ln (\frac{16 (72057594037928125 x^{15})}{4096 y^{12}})$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $16$ aus $4096 y^{12}$ heraus.

$\ln (\frac{16 (72057594037928125 x^{15})}{16 (256 y^{12})})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{16 (72057594037928125 x^{15})}{16 (256 y^{12})})$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{72057594037928125 x^{15}}{256 y^{12}})$