Elementarmathematik Beispiele

$4 \ln (2 x^{3}) - 2 \ln (x y) + 3 \ln (x^{2} y^{3})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $4 \ln (2 x^{3})$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(2 x^{3})}^{4}) - 2 \ln (x y) + 3 \ln (x^{2} y^{3})$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $2 x^{3}$ an.

$\ln (2^{4} {(x^{3})}^{4}) - 2 \ln (x y) + 3 \ln (x^{2} y^{3})$

Schritt 1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\ln (16 {(x^{3})}^{4}) - 2 \ln (x y) + 3 \ln (x^{2} y^{3})$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{4}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (16 x^{3 \cdot 4}) - 2 \ln (x y) + 3 \ln (x^{2} y^{3})$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\ln (16 x^{12}) - 2 \ln (x y) + 3 \ln (x^{2} y^{3})$

Schritt 1.5

Vereinfache $- 2 \ln (x y)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (16 x^{12}) - \ln ({(x y)}^{2}) + 3 \ln (x^{2} y^{3})$

Schritt 1.6

Wende die Produktregel auf $x y$ an.

$\ln (16 x^{12}) - \ln (x^{2} y^{2}) + 3 \ln (x^{2} y^{3})$

Schritt 1.7

Vereinfache $3 \ln (x^{2} y^{3})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (16 x^{12}) - \ln (x^{2} y^{2}) + \ln ({(x^{2} y^{3})}^{3})$

Schritt 1.8

Wende die Produktregel auf $x^{2} y^{3}$ an.

$\ln (16 x^{12}) - \ln (x^{2} y^{2}) + \ln ({(x^{2})}^{3} {(y^{3})}^{3})$

Schritt 1.9

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 1.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (16 x^{12}) - \ln (x^{2} y^{2}) + \ln (x^{2 \cdot 3} {(y^{3})}^{3})$

Schritt 1.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\ln (16 x^{12}) - \ln (x^{2} y^{2}) + \ln (x^{6} {(y^{3})}^{3})$

Schritt 1.10

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{3}$ .

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Schritt 1.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (16 x^{12}) - \ln (x^{2} y^{2}) + \ln (x^{6} y^{3 \cdot 3})$

Schritt 1.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\ln (16 x^{12}) - \ln (x^{2} y^{2}) + \ln (x^{6} y^{9})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{16 x^{12}}{x^{2} y^{2}}) + \ln (x^{6} y^{9})$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{16 x^{12}}{x^{2} y^{2}} (x^{6} y^{9}))$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x^{2} y^{2}$ aus $x^{6} y^{9}$ heraus.

$\ln (\frac{16 x^{12}}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2} (x^{4} y^{7})))$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{16 x^{12}}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2} (x^{4} y^{7})))$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (16 x^{12} (x^{4} y^{7}))$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (16 x^{4 + 12} y^{7})$

Schritt 6

Addiere $4$ und $12$ .

$\ln (16 x^{16} y^{7})$