Elementarmathematik Beispiele

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{x^{2} - 4}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{x^{2} - 2^{2}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.3

Vereinfache $9 \log_{2} (\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)})$ , indem du $9$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} ({\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}}^{9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.4

Schreibe ${\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}}^{9}$ als ${((x + 2) (x - 2))}^{3}$ um.

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Schritt 1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}$ als ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{2} ({({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}})}^{9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $9$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{9}{3}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3}{1}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.4.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.5

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} ({(x (x - 2) + 2 (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} ({(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} ({(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 1.6.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$\log_{2} ({(x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.6.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\log_{2} ({(x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.6.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\log_{2} ({(x \cdot x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} ({(x^{2} + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\log_{2} ({(x^{2} - 4)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 2 \log_{2} (x - 2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} ({(x^{2} - 4)}^{3}) - \log_{2} ({(x - 2)}^{2}) + \log_{2} (x)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}}) + \log_{2} (x)$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 2^{2})}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\log_{2} (\frac{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

$\log_{2} (\frac{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 2)}^{3}$ und ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2}$ aus ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}$ heraus.

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Schritt 5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} \cdot 1} x)$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} \cdot 1} x)$

Schritt 5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\frac{{(x + 2)}^{3} (x - 2)}{1} x)$

Schritt 5.1.2.4

Dividiere ${(x + 2)}^{3} (x - 2)$ durch $1$ .

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2) x)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (({(x + 2)}^{3} x + {(x + 2)}^{3} \cdot - 2) x)$

Schritt 5.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von ${(x + 2)}^{3}$ .

$\log_{2} (({(x + 2)}^{3} x - 2 \cdot {(x + 2)}^{3}) x)$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x \cdot x - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

Schritt 6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $x$ .

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} (x \cdot x) - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x^{2} - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

Schritt 7

Stelle die Faktoren in $\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x^{2} - 2 {(x + 2)}^{3} x)$ um.

$\log_{2} (x^{2} {(x + 2)}^{3} - 2 x {(x + 2)}^{3})$