Elementarmathematik Beispiele

$3 (\log (7) - \log (3) - 3 \log (x) + \frac{1}{2} \cdot \log (y))$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 (\log (\frac{7}{3}) - 3 \log (x) + \frac{1}{2} \cdot \log (y))$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Vereinfache $- 3 \log (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$3 (\log (\frac{7}{3}) - \log (x^{3}) + \frac{1}{2} \cdot \log (y))$

Schritt 2.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \log (y)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$3 (\log (\frac{7}{3}) - \log (x^{3}) + \log (y^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 (\log (\frac{\frac{7}{3}}{x^{3}}) + \log (y^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$3 \log (\frac{\frac{7}{3}}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$3 \log (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6

Kombinieren.

$3 \log (\frac{7 \cdot 1}{3 x^{3}} y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$3 \log (\frac{7}{3 x^{3}} y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{7}{3 x^{3}}$ und $y^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \log (\frac{7 y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{3}})$

Schritt 9

Vereinfache $3 \log (\frac{7 y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{3}})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(\frac{7 y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{3}})}^{3})$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 10.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7 y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{3}}$ an.

$\log (\frac{{(7 y^{\frac{1}{2}})}^{3}}{{(3 x^{3})}^{3}})$

Schritt 10.2

Wende die Produktregel auf $7 y^{\frac{1}{2}}$ an.

$\log (\frac{7^{3} {(y^{\frac{1}{2}})}^{3}}{{(3 x^{3})}^{3}})$

Schritt 10.3

Wende die Produktregel auf $3 x^{3}$ an.

$\log (\frac{7^{3} {(y^{\frac{1}{2}})}^{3}}{3^{3} {(x^{3})}^{3}})$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\log (\frac{343 {(y^{\frac{1}{2}})}^{3}}{3^{3} {(x^{3})}^{3}})$

Schritt 11.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Schritt 11.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{343 y^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3^{3} {(x^{3})}^{3}})$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\log (\frac{343 y^{\frac{3}{2}}}{3^{3} {(x^{3})}^{3}})$

Schritt 12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\log (\frac{343 y^{\frac{3}{2}}}{27 {(x^{3})}^{3}})$

Schritt 12.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{3}$ .

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Schritt 12.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{343 y^{\frac{3}{2}}}{27 x^{3 \cdot 3}})$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\log (\frac{343 y^{\frac{3}{2}}}{27 x^{9}})$