Elementarmathematik Beispiele

$3 \ln (x^{2}) - \ln (\sqrt{x})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $3 \ln (x^{2})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(x^{2})}^{3}) - \ln (\sqrt{x})$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x^{2 \cdot 3}) - \ln (\sqrt{x})$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\ln (x^{6}) - \ln (\sqrt{x})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{6}}{\sqrt{x}})$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x^{6}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\ln (\frac{x^{6}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})$

Schritt 4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x^{6}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\ln (\frac{x^{6} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})$

Schritt 4.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{x^{6} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})$

Schritt 4.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{x^{6} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{x^{6} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{x^{6} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})$

Schritt 4.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{x^{6} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{x^{6} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\ln (\frac{x^{6} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x^{6} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x^{6} \sqrt{x}}{x^{1}})$

Schritt 4.6.5

Vereinfache.

$\ln (\frac{x^{6} \sqrt{x}}{x})$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6} \sqrt{x}$ heraus.

$\ln (\frac{x (x^{5} \sqrt{x})}{x})$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{x (x^{5} \sqrt{x})}{x^{1}})$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\ln (\frac{x (x^{5} \sqrt{x})}{x \cdot 1})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x (x^{5} \sqrt{x})}{x \cdot 1})$

Schritt 5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x^{5} \sqrt{x}}{1})$

Schritt 5.2.5

Dividiere $x^{5} \sqrt{x}$ durch $1$ .

$\ln (x^{5} \sqrt{x})$