Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (x^{2} - 1) + 2 \log_{3} (2 x - 2) - 3 \log_{3} (x - 1)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log_{3} (2 x - 2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - 3 \log_{3} (x - 1)$

Schritt 1.2

Vereinfache $- 3 \log_{3} (x - 1)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1^{2}) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) + 2 (- 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x - 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $2 (x - 1)$ an.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) \cdot 2^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 4.5

Multipliziere $x - 1$ mit ${(x - 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1

Bewege ${(x - 1)}^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} (x - 1)) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere ${(x - 1)}^{2}$ mit $x - 1$ .

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Schritt 4.5.2.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{1}) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 4.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{2 + 1} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 4.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 4.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 1)}^{3}$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

Schritt 5.1.2

Dividiere $(x + 1) \cdot 4$ durch $1$ .

$\log_{3} ((x + 1) \cdot 4)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (x \cdot 4 + 1 \cdot 4)$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{3} (4 \cdot x + 1 \cdot 4)$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\log_{3} (4 x + 4)$