Elementarmathematik Beispiele

$\log_{6} (x + 4) + \log_{6} (x + 1) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((x + 4) (x + 1)) = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 4) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (x (x + 1) + 4 (x + 1)) = 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 1 + 4 (x + 1)) = 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 1 + 4 x + 4 \cdot 1) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot 1 + 4 x + 4 \cdot 1) = 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\log_{6} (x^{2} + x + 4 x + 4 \cdot 1) = 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\log_{6} (x^{2} + x + 4 x + 4) = 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $x$ und $4 x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 5 x + 4) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{6} (x^{2} + 5 x + 4) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{1} = x^{2} + 5 x + 4$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 5 x + 4 = 6^{1}$ um.

$x^{2} + 5 x + 4 = 6$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 5 x + 4 - 6 = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.3

Addiere $25$ und $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $25$ und $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Schritt 3.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{33}}{2}$

Schritt 3.6.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{33}}{2}$

Schritt 3.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{33}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{33})}{2}$

Schritt 3.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{33})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{33})}{2}$

Schritt 3.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.3

Addiere $25$ und $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Schritt 3.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{33}}{2}$

Schritt 3.7.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2}$

Schritt 3.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{33}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{33})}{2}$

Schritt 3.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (\sqrt{33})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{33})}{2}$

Schritt 3.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{6} (x + 4) + \log_{6} (x + 1) = 1$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.37228132 \dots$