Elementarmathematik Beispiele

$\log_{z} (x y^{2}) + 2 \log_{z} (\frac{x}{y}) - 3 \log_{z} (y x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log_{z} (\frac{x}{y})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} ({(\frac{x}{y})}^{2}) - 3 \log_{z} (y x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{y}$ an.

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}}) - 3 \log_{z} (y x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.3

Vereinfache $- 3 \log_{z} (y x^{\frac{2}{3}})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}}) - \log_{z} ({(y x^{\frac{2}{3}})}^{3})$

Schritt 1.4

Wende die Produktregel auf $y x^{\frac{2}{3}}$ an.

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}}) - \log_{z} (y^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3})$

Schritt 1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}}) - \log_{z} (y^{3} x^{\frac{2}{3} \cdot 3})$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}}) - \log_{z} (y^{3} x^{\frac{2}{3} \cdot 3})$

Schritt 1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}}) - \log_{z} (y^{3} x^{2})$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{z} (x y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}) - \log_{z} (y^{3} x^{2})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{z} (\frac{x y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}}{y^{3} x^{2}})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$ heraus.

$\log_{z} (\frac{x (y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}})}{y^{3} x^{2}})$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $y^{3} x^{2}$ heraus.

$\log_{z} (\frac{x (y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}})}{x (y^{3} x)})$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{z} (\frac{x (y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}})}{x (y^{3} x)})$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{z} (\frac{y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}}{y^{3} x})$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3} x$ heraus.

$\log_{z} (\frac{y^{2} (\frac{x^{2}}{y^{2}})}{y^{2} (y x)})$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{z} (\frac{y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}}{y^{2} (y x)})$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{z} (\frac{\frac{x^{2}}{y^{2}}}{y x})$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{1}{y x})$

Schritt 7

Kombinieren.

$\log_{z} (\frac{x^{2} \cdot 1}{y^{2} (y x)})$

Schritt 8

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Bewege $y$ .

$\log_{z} (\frac{x^{2} \cdot 1}{y \cdot y^{2} x})$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 8.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\log_{z} (\frac{x^{2} \cdot 1}{y^{1} y^{2} x})$

Schritt 8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{z} (\frac{x^{2} \cdot 1}{y^{1 + 2} x})$

Schritt 8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\log_{z} (\frac{x^{2} \cdot 1}{y^{3} x})$

Schritt 9

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{3} x})$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\log_{z} (\frac{x \cdot x}{y^{3} x})$

Schritt 10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $x$ aus $y^{3} x$ heraus.

$\log_{z} (\frac{x \cdot x}{x y^{3}})$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{z} (\frac{x \cdot x}{x y^{3}})$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{z} (\frac{x}{y^{3}})$