Elementarmathematik Beispiele

$y^{5} + \frac{1}{3} \cdot \ln (x^{12} y^{9}) - 8 \ln (y)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (x^{12} y^{9})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{5} + \ln ({(x^{12} y^{9})}^{\frac{1}{3}}) - 8 \ln (y)$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $x^{12} y^{9}$ an.

$y^{5} + \ln ({(x^{12})}^{\frac{1}{3}} {(y^{9})}^{\frac{1}{3}}) - 8 \ln (y)$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{12})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{5} + \ln (x^{12 (\frac{1}{3})} {(y^{9})}^{\frac{1}{3}}) - 8 \ln (y)$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y^{5} + \ln (x^{3 (4) \frac{1}{3}} {(y^{9})}^{\frac{1}{3}}) - 8 \ln (y)$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{5} + \ln (x^{3 \cdot 4 \frac{1}{3}} {(y^{9})}^{\frac{1}{3}}) - 8 \ln (y)$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{5} + \ln (x^{4} {(y^{9})}^{\frac{1}{3}}) - 8 \ln (y)$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{9})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{5} + \ln (x^{4} y^{9 (\frac{1}{3})}) - 8 \ln (y)$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y^{5} + \ln (x^{4} y^{3 (3) \frac{1}{3}}) - 8 \ln (y)$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{5} + \ln (x^{4} y^{3 \cdot 3 \frac{1}{3}}) - 8 \ln (y)$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{5} + \ln (x^{4} y^{3}) - 8 \ln (y)$

Schritt 1.5

Vereinfache $- 8 \ln (y)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{5} + \ln (x^{4} y^{3}) - \ln (y^{8})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y^{5} + \ln (\frac{x^{4} y^{3}}{y^{8}})$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{8}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $x^{4} y^{3}$ heraus.

$y^{5} + \ln (\frac{y^{3} x^{4}}{y^{8}})$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{8}$ heraus.

$y^{5} + \ln (\frac{y^{3} x^{4}}{y^{3} y^{5}})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{5} + \ln (\frac{y^{3} x^{4}}{y^{3} y^{5}})$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{5} + \ln (\frac{x^{4}}{y^{5}})$