Elementarmathematik Beispiele

$\log_{b} (216^{\frac{2}{3}}) + \log_{b} (49^{\frac{1}{2}}) - \log_{b} (49)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (216^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - \log_{b} (49)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{1}{2}}}{49})$

Schritt 3

Bringe $49^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}}}{49 \cdot 49^{- \frac{1}{2}}})$

Schritt 4

Multipliziere $49$ mit $49^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $49$ mit $49^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Potenziere $49$ mit $1$ .

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}}}{49^{1} \cdot 49^{- \frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}}}{49^{1 - \frac{1}{2}}})$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}}}{49^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}}}{49^{\frac{2 - 1}{2}}})$

Schritt 4.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}}}{49^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe $216$ als $6^{3}$ um.

$\log_{b} (\frac{{(6^{3})}^{\frac{2}{3}}}{49^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (\frac{6^{3 (\frac{2}{3})}}{49^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{b} (\frac{6^{3 (\frac{2}{3})}}{49^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{b} (\frac{6^{2}}{49^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 5.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\log_{b} (\frac{36}{49^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\log_{b} (\frac{36}{{(7^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (\frac{36}{7^{2 (\frac{1}{2})}})$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{b} (\frac{36}{7^{2 (\frac{1}{2})}})$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{b} (\frac{36}{7^{1}})$

Schritt 6.4

Berechne den Exponenten.

$\log_{b} (\frac{36}{7})$