Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (5^{\frac{3}{4}}) - \log_{5} (5^{2})$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{5^{\frac{3}{4}}}{5^{2}})$

Schritt 2

Bringe $5^{\frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{2} \cdot 5^{- \frac{3}{4}}})$

Schritt 3

Multipliziere $5^{2}$ mit $5^{- \frac{3}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{5} (\frac{1}{5^{2 - \frac{3}{4}}})$

Schritt 3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}}})$

Schritt 3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}}})$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\log_{5} (\frac{1}{5^{\frac{2 \cdot 4 - 3}{4}}})$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{\frac{8 - 3}{4}}})$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{\frac{5}{4}}})$

Schritt 4

Bringe $5^{\frac{5}{4}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{5} (5^{- \frac{5}{4}})$

Schritt 5

Zerlege $\log_{5} (5^{- \frac{5}{4}})$ durch Herausziehen von $- \frac{5}{4}$ aus dem Logarithmus.

$- \frac{5}{4} \log_{5} (5)$

Schritt 6

Die logarithmische Basis $5$ von $5$ ist $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot 1$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{5}{4}$

Dezimalform:

$- 1.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 1 \frac{1}{4}$