Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (x + 6) + \log_{3} (x) = 9$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x + 6) x) = 9$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (x \cdot x + 6 x) = 9$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + 6 x) = 9$

Schritt 2

Schreibe $\log_{3} (x^{2} + 6 x) = 9$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{9} = x^{2} + 6 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 6 x = 3^{9}$ um.

$x^{2} + 6 x = 3^{9}$

Schritt 3.2

Potenziere $3$ mit $9$ .

$x^{2} + 6 x = 19683$

Schritt 3.3

Subtrahiere $19683$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x - 19683 = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = - 19683$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 19683)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 19683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 19683$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 19683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 19683$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 78732}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $36$ und $78732$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{78768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $78768$ als $12^{2} \cdot 547$ um.

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Schritt 3.6.1.4.1

Faktorisiere $144$ aus $78768$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{144 (547)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 547}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 6 \sqrt{547}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 19683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 19683$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 19683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 19683$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 78732}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.3

Addiere $36$ und $78732$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{78768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.4

Schreibe $78768$ als $12^{2} \cdot 547$ um.

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Schritt 3.7.1.4.1

Faktorisiere $144$ aus $78768$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{144 (547)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.4.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 547}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 6 \sqrt{547}$

Schritt 3.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 3 + 6 \sqrt{547}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 19683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 19683$ .

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Schritt 3.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 19683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 19683$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 78732}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.3

Addiere $36$ und $78732$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{78768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.4

Schreibe $78768$ als $12^{2} \cdot 547$ um.

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Schritt 3.8.1.4.1

Faktorisiere $144$ aus $78768$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{144 (547)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.4.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 547}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 6 \sqrt{547}$

Schritt 3.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 3 - 6 \sqrt{547}$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 3 + 6 \sqrt{547}, - 3 - 6 \sqrt{547}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (x + 6) + \log_{3} (x) = 9$ nicht erfüllen.

$x = - 3 + 6 \sqrt{547}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 3 + 6 \sqrt{547}$

Dezimalform:

$x = 137.32818676 \dots$