Elementarmathematik Beispiele

$3 (\ln (z) + \ln (z + 1)) - 5 \ln (z - 7)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$3 \ln (z (z + 1)) - 5 \ln (z - 7)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \ln (z \cdot z + z \cdot 1) - 5 \ln (z - 7)$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$3 \ln (z^{2} + z \cdot 1) - 5 \ln (z - 7)$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$3 \ln (z^{2} + z) - 5 \ln (z - 7)$

Schritt 1.5

Vereinfache $3 \ln (z^{2} + z)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(z^{2} + z)}^{3}) - 5 \ln (z - 7)$

Schritt 1.6

Vereinfache $- 5 \ln (z - 7)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(z^{2} + z)}^{3}) - \ln ({(z - 7)}^{5})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(z^{2} + z)}^{3}}{{(z - 7)}^{5}})$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{2} + z$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{{(z \cdot z + z)}^{3}}{{(z - 7)}^{5}})$

Schritt 3.1.2

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\ln (\frac{{(z \cdot z + z^{1})}^{3}}{{(z - 7)}^{5}})$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $z$ aus $z^{1}$ heraus.

$\ln (\frac{{(z \cdot z + z \cdot 1)}^{3}}{{(z - 7)}^{5}})$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $z$ aus $z \cdot z + z \cdot 1$ heraus.

$\ln (\frac{{(z (z + 1))}^{3}}{{(z - 7)}^{5}})$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $z (z + 1)$ an.

$\ln (\frac{z^{3} {(z + 1)}^{3}}{{(z - 7)}^{5}})$