Elementarmathematik Beispiele

$3 \ln (\sqrt{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $3 \ln (\sqrt{x})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({\sqrt{x}}^{3}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Schritt 1.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{3}$ als $\sqrt{x^{3}}$ um.

$\ln (\sqrt{x^{3}}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$\ln (\sqrt{x^{2} x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Schritt 1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\ln (x \sqrt{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Schritt 1.5

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (x)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x \sqrt{x}) + \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \sqrt{x} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} x \sqrt{x})$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} x^{1} \sqrt{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (x^{\frac{1}{2} + 1} \sqrt{x})$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\ln (x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sqrt{x})$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (x^{\frac{1 + 2}{2}} \sqrt{x})$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln (x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x})$

Schritt 4

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x}$ .

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}})$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (x^{\frac{3 + 1}{2}})$

Schritt 4.4

Addiere $3$ und $1$ .

$\ln (x^{\frac{4}{2}})$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\ln (x^{\frac{2 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}})$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}})$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x^{\frac{2}{1}})$

Schritt 4.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\ln (x^{2})$