Elementarmathematik Beispiele

$2 \log_{5} (\sqrt{6 x - 1}) - \log_{5} (\frac{6}{x}) + \log_{5} (6)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log_{5} (\sqrt{6 x - 1})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{5} ({\sqrt{6 x - 1}}^{2}) - \log_{5} (\frac{6}{x}) + \log_{5} (6)$

Schritt 1.2

Schreibe ${\sqrt{6 x - 1}}^{2}$ als $6 x - 1$ um.

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x - 1}$ als ${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log_{5} ({({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}) - \log_{5} (\frac{6}{x}) + \log_{5} (6)$

Schritt 1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} ({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - \log_{5} (\frac{6}{x}) + \log_{5} (6)$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\log_{5} ({(6 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) - \log_{5} (\frac{6}{x}) + \log_{5} (6)$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{5} ({(6 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) - \log_{5} (\frac{6}{x}) + \log_{5} (6)$

Schritt 1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{5} ({(6 x - 1)}^{1}) - \log_{5} (\frac{6}{x}) + \log_{5} (6)$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

$\log_{5} (6 x - 1) - \log_{5} (\frac{6}{x}) + \log_{5} (6)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{6 x - 1}{\frac{6}{x}}) + \log_{5} (6)$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (\frac{6 x - 1}{\frac{6}{x}} \cdot 6)$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log_{5} ((6 x - 1) \frac{x}{6} \cdot 6)$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} ((6 x \frac{x}{6} - 1 \frac{x}{6}) \cdot 6)$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$\log_{5} ((6 (x) \frac{x}{6} - 1 \frac{x}{6}) \cdot 6)$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{5} ((6 x \frac{x}{6} - 1 \frac{x}{6}) \cdot 6)$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{5} ((x \cdot x - 1 \frac{x}{6}) \cdot 6)$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{5} ((x^{1} x - 1 \frac{x}{6}) \cdot 6)$

Schritt 8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{5} ((x^{1} x^{1} - 1 \frac{x}{6}) \cdot 6)$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{5} ((x^{1 + 1} - 1 \frac{x}{6}) \cdot 6)$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\log_{5} ((x^{2} - 1 \frac{x}{6}) \cdot 6)$

Schritt 10.2

Schreibe $- 1 \frac{x}{6}$ als $- \frac{x}{6}$ um.

$\log_{5} ((x^{2} - \frac{x}{6}) \cdot 6)$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x^{2} \cdot 6 - \frac{x}{6} \cdot 6)$

Schritt 12

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\log_{5} (6 \cdot x^{2} - \frac{x}{6} \cdot 6)$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 13.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{6}$ in den Zähler.

$\log_{5} (6 \cdot x^{2} + \frac{- x}{6} \cdot 6)$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{5} (6 \cdot x^{2} + \frac{- x}{6} \cdot 6)$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{5} (6 \cdot x^{2} - x)$

$\log_{5} (6 x^{2} - x)$