Elementarmathematik Beispiele

$2 \log_{2} (x) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x - 27)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log_{2} (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x - 27)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x) + \log (2) \cdot - 27) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.3

Vereinfache $27 \log (2)$ , indem du $27$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x + \log (2) \cdot - 27) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.4

Multipliziere $\log (2) \cdot - 27$ .

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Schritt 1.4.1

Stelle $\log (2)$ und $- 27$ um.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x - 27 \cdot \log (2)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.4.2

Vereinfache $- 27 \cdot \log (2)$ , indem du $27$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x - \log (2^{27})) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $2$ mit $27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (134217728) x - \log (2^{27})) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.5.2

Potenziere $2$ mit $27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (134217728) x - \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} (\log (134217728) x) + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.7

Multipliziere $\frac{1}{3} (\log (134217728) x)$ .

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Schritt 1.7.1

Stelle $\log (134217728)$ und $\frac{1}{3}$ um.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \log (134217728) x + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.7.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \log (134217728)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (134217728^{\frac{1}{3}}) x + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.8

Vereinfache $\frac{1}{3} \log (134217728)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (134217728^{\frac{1}{3}}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1

Schreibe $134217728$ als $512^{3}$ um.

$\log_{2} (x^{2}) + \log ({(512^{3})}^{\frac{1}{3}}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.9.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{1}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.9.4

Berechne den Exponenten.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.9.5

Schreibe $134217728$ als $512^{3}$ um.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log ({(512^{3})}^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.9.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.9.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.9.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.9.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{1}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.9.8

Berechne den Exponenten.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Schritt 1.10

Vereinfache $- 2 \log_{2} (x^{3} - x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512) - \log_{2} ({(x^{3} - x)}^{2})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{3} - x)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - x$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x^{2} - x)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ heraus.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x^{2} - 1))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x^{2} - 1^{2}))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.4

Wende die Produktregel auf $x (x + 1) (x - 1)$ an.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + x)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.8

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 3.1.8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.8.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.8.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.8.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.1.9

Wende die Produktregel auf $x (x + 1)$ an.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Schritt 4

Stelle die Faktoren in $\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$ um.

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + x \log (512) - \log (512)$