Elementarmathematik Beispiele

$2 \log_{4} (2 x) + 0.5 \log_{4} (x + 3) - \log_{4} (x^{2} - 9)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log_{4} (2 x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{4} ({(2 x)}^{2}) + 0.5 \log_{4} (x + 3) - \log_{4} (x^{2} - 9)$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\log_{4} (2^{2} x^{2}) + 0.5 \log_{4} (x + 3) - \log_{4} (x^{2} - 9)$

Schritt 1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\log_{4} (4 x^{2}) + 0.5 \log_{4} (x + 3) - \log_{4} (x^{2} - 9)$

Schritt 1.4

Vereinfache $0.5 \log_{4} (x + 3)$ , indem du $0.5$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{4} (4 x^{2}) + \log_{4} ({(x + 3)}^{0.5}) - \log_{4} (x^{2} - 9)$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (4 x^{2} {(x + 3)}^{0.5}) - \log_{4} (x^{2} - 9)$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{4 x^{2} {(x + 3)}^{0.5}}{x^{2} - 9})$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\log_{4} (\frac{4 x^{2} {(x + 3)}^{0.5}}{x^{2} - 3^{2}})$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\log_{4} (\frac{4 x^{2} {(x + 3)}^{0.5}}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 3)}^{0.5}$ und $x + 3$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $4 x^{2} {(x + 3)}^{0.5}$ heraus.

$\log_{4} (\frac{(x + 3) (4 x^{2} {(x + 3)}^{- 0.5})}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{4} (\frac{(x + 3) (4 x^{2} {(x + 3)}^{- 0.5})}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{4} (\frac{4 x^{2} {(x + 3)}^{- 0.5}}{x - 3})$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1

Bringe ${(x + 3)}^{- 0.5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\log_{4} (\frac{4 x^{2}}{(x - 3) {(x + 3)}^{0.5}})$

Schritt 5.2.2

Stelle die Faktoren in $\log_{4} (\frac{4 x^{2}}{(x - 3) {(x + 3)}^{0.5}})$ um.

$\log_{4} (\frac{4 x^{2}}{{(x + 3)}^{0.5} (x - 3)})$