Elementarmathematik Beispiele

$2 \log_{3} (x) - \frac{1}{2} \cdot (\log_{3} (x) + 5 \log_{3} (z))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log_{3} (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (x^{2}) - \frac{1}{2} \cdot (\log_{3} (x) + 5 \log_{3} (z))$

Schritt 1.2

Vereinfache $5 \log_{3} (z)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (x^{2}) - \frac{1}{2} \cdot (\log_{3} (x) + \log_{3} (z^{5}))$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x^{2}) - \frac{1}{2} \cdot \log_{3} (x z^{5})$

Schritt 1.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} \log_{3} (x z^{5})$ .

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Schritt 1.4.1

Stelle $\log_{3} (x z^{5})$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\log_{3} (x^{2}) - (\frac{1}{2} \log_{3} (x z^{5}))$

Schritt 1.4.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \log_{3} (x z^{5})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} ({(x z^{5})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.5

Wende die Produktregel auf $x z^{5}$ an.

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} (x^{\frac{1}{2}} {(z^{5})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{5})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} (x^{\frac{1}{2}} z^{5 (\frac{1}{2})})$

Schritt 1.6.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} (x^{\frac{1}{2}} z^{\frac{5}{2}})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} z^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{3} (\frac{x^{2 - \frac{1}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\log_{3} (\frac{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\log_{3} (\frac{x^{\frac{4 - 1}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\log_{3} (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$