Elementarmathematik Beispiele

$2 \log_{7} (x^{4}) - 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log_{7} (x^{4})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{7} ({(x^{4})}^{2}) - 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{7} (x^{4 \cdot 2}) - 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\log_{7} (x^{8}) - 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.3

Vereinfache $- 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}})$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} ({\sqrt[3]{x^{2}}}^{6}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.4

Schreibe ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{6}$ als $x^{4}$ um.

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Schritt 1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{6}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{2}{3} \cdot 6}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $6$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{2 \cdot 6}{3}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{12}{3}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 1.4.5.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{3 \cdot 4}{3}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{3 \cdot 4}{3 (1)}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{4}{1}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.4.5.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{4}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.5

Vereinfache $3 \log_{7} (4 x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{4}) + \log_{7} ({(4 x)}^{3}) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.6

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{4}) + \log_{7} (4^{3} x^{3}) + \log_{7} (2)$

Schritt 1.7

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{4}) + \log_{7} (64 x^{3}) + \log_{7} (2)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{x^{8}}{x^{4}}) + \log_{7} (64 x^{3}) + \log_{7} (2)$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (\frac{x^{8}}{x^{4}} (64 x^{3})) + \log_{7} (2)$

Schritt 4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (\frac{x^{8}}{x^{4}} (64 x^{3}) \cdot 2)$

Schritt 5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log_{7} (64 \frac{x^{8}}{x^{4}} x^{3} \cdot 2)$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{8}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{8}$ heraus.

$\log_{7} (64 \frac{x^{4} x^{4}}{x^{4}} x^{3} \cdot 2)$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\log_{7} (64 \frac{x^{4} x^{4}}{x^{4} \cdot 1} x^{3} \cdot 2)$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{7} (64 \frac{x^{4} x^{4}}{x^{4} \cdot 1} x^{3} \cdot 2)$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{7} (64 \frac{x^{4}}{1} x^{3} \cdot 2)$

Schritt 6.2.4

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$\log_{7} (64 x^{4} x^{3} \cdot 2)$

Schritt 7

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $x^{3}$ .

$\log_{7} (64 (x^{3} x^{4}) \cdot 2)$

Schritt 7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{7} (64 x^{3 + 4} \cdot 2)$

Schritt 7.3

Addiere $3$ und $4$ .

$\log_{7} (64 x^{7} \cdot 2)$

Schritt 8

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\log_{7} (128 x^{7})$