Elementarmathematik Beispiele

$21 \log_{3} (\sqrt[3]{x}) + \log_{3} (9 x^{2}) - \log_{3} (25)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$21 \log_{3} (\sqrt[3]{x}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Vereinfache $21 \log_{3} (\sqrt[3]{x})$ , indem du $21$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} ({\sqrt[3]{x}}^{21}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{21}$ als $x^{7}$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{3} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{21}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (x^{\frac{1}{3} \cdot 21}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $21$ .

$\log_{3} (x^{\frac{21}{3}}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $3$ .

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$\log_{3} (x^{\frac{3 \cdot 7}{3}}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\log_{3} (x^{\frac{3 \cdot 7}{3 (1)}}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (x^{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (x^{\frac{7}{1}}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Schritt 2.2.4.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$\log_{3} (x^{7}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x^{7} \frac{9 x^{2}}{25})$

Schritt 4

Multipliziere $x^{7} \frac{9 x^{2}}{25}$ .

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{7}$ und $\frac{9 x^{2}}{25}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{7} (9 x^{2})}{25})$

Schritt 4.2

Multipliziere $x^{7}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} x^{7} \cdot 9}{25})$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{3} (\frac{x^{2 + 7} \cdot 9}{25})$

Schritt 4.2.3

Addiere $2$ und $7$ .

$\log_{3} (\frac{x^{9} \cdot 9}{25})$

Schritt 5

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{9}$ .

$\log_{3} (\frac{9 x^{9}}{25})$