Elementarmathematik Beispiele

$4 (\ln (z) + \ln (z + 5) - 2 \ln (z - 5))$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$4 (\ln (z (z + 5)) - 2 \ln (z - 5))$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\ln (z \cdot z + z \cdot 5) - 2 \ln (z - 5))$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$4 (\ln (z^{2} + z \cdot 5) - 2 \ln (z - 5))$

Schritt 2.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $z$ .

$4 (\ln (z^{2} + 5 \cdot z) - 2 \ln (z - 5))$

Schritt 2.4

Vereinfache $- 2 \ln (z - 5)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$4 (\ln (z^{2} + 5 z) - \ln ({(z - 5)}^{2}))$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{z^{2} + 5 z}{{(z - 5)}^{2}})$

Schritt 4

Faktorisiere $z$ aus $z^{2} + 5 z$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{2}$ heraus.

$4 \ln (\frac{z \cdot z + 5 z}{{(z - 5)}^{2}})$

Schritt 4.2

Faktorisiere $z$ aus $5 z$ heraus.

$4 \ln (\frac{z \cdot z + z \cdot 5}{{(z - 5)}^{2}})$

Schritt 4.3

Faktorisiere $z$ aus $z \cdot z + z \cdot 5$ heraus.

$4 \ln (\frac{z (z + 5)}{{(z - 5)}^{2}})$

Schritt 5

Vereinfache $4 \ln (\frac{z (z + 5)}{{(z - 5)}^{2}})$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{z (z + 5)}{{(z - 5)}^{2}})}^{4})$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{z (z + 5)}{{(z - 5)}^{2}}$ an.

$\ln (\frac{{(z (z + 5))}^{4}}{{({(z - 5)}^{2})}^{4}})$

Schritt 6.2

Wende die Produktregel auf $z (z + 5)$ an.

$\ln (\frac{z^{4} {(z + 5)}^{4}}{{({(z - 5)}^{2})}^{4}})$

Schritt 7

Multipliziere die Exponenten in ${({(z - 5)}^{2})}^{4}$ .

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Schritt 7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{z^{4} {(z + 5)}^{4}}{{(z - 5)}^{2 \cdot 4}})$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\ln (\frac{z^{4} {(z + 5)}^{4}}{{(z - 5)}^{8}})$