Elementarmathematik Beispiele

$3 \log (x + y) + 2 \log (x - y) - \log (x^{2} - y^{2})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $3 \log (x + y)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(x + y)}^{3}) + 2 \log (x - y) - \log (x^{2} - y^{2})$

Schritt 1.2

Vereinfache $2 \log (x - y)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(x + y)}^{3}) + \log ({(x - y)}^{2}) - \log (x^{2} - y^{2})$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{3} {(x - y)}^{2}) - \log (x^{2} - y^{2})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{{(x + y)}^{3} {(x - y)}^{2}}{x^{2} - y^{2}})$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\log (\frac{{(x + y)}^{3} {(x - y)}^{2}}{(x + y) (x - y)})$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + y)}^{3}$ und $x + y$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x + y$ aus ${(x + y)}^{3} {(x - y)}^{2}$ heraus.

$\log (\frac{(x + y) ({(x + y)}^{2} {(x - y)}^{2})}{(x + y) (x - y)})$

Schritt 5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{(x + y) ({(x + y)}^{2} {(x - y)}^{2})}{(x + y) (x - y)})$

Schritt 5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{{(x + y)}^{2} {(x - y)}^{2}}{x - y})$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - y)}^{2}$ und $x - y$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x - y$ aus ${(x + y)}^{2} {(x - y)}^{2}$ heraus.

$\log (\frac{(x - y) ({(x + y)}^{2} (x - y))}{x - y})$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\log (\frac{(x - y) ({(x + y)}^{2} (x - y))}{(x - y) \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{(x - y) ({(x + y)}^{2} (x - y))}{(x - y) \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{{(x + y)}^{2} (x - y)}{1})$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere ${(x + y)}^{2} (x - y)$ durch $1$ .

$\log ({(x + y)}^{2} (x - y))$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log ({(x + y)}^{2} x + {(x + y)}^{2} (- y))$

Schritt 5.4

Stelle um.

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Schritt 5.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log ({(x + y)}^{2} x - {(x + y)}^{2} y)$

Schritt 5.4.2

Stelle die Faktoren in $\log ({(x + y)}^{2} x - {(x + y)}^{2} y)$ um.

$\log (x {(x + y)}^{2} - y {(x + y)}^{2})$