Elementarmathematik Beispiele

$3 \log (\frac{y^{4}}{x}) - 2 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{6} y^{8})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $3 \log (\frac{y^{4}}{x})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(\frac{y^{4}}{x})}^{3}) - 2 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{6} y^{8})$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y^{4}}{x}$ an.

$\log (\frac{{(y^{4})}^{3}}{x^{3}}) - 2 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{6} y^{8})$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{4})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{4 \cdot 3}}{x^{3}}) - 2 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{6} y^{8})$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}}) - 2 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{6} y^{8})$

Schritt 1.4

Vereinfache $- 2 \log (y)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}}) - \log (y^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{6} y^{8})$

Schritt 1.5

Vereinfache $\frac{1}{2} \log (x^{6} y^{8})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}}) - \log (y^{2}) + \log ({(x^{6} y^{8})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.6

Wende die Produktregel auf $x^{6} y^{8}$ an.

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}}) - \log (y^{2}) + \log ({(x^{6})}^{\frac{1}{2}} {(y^{8})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}}) - \log (y^{2}) + \log (x^{6 (\frac{1}{2})} {(y^{8})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}}) - \log (y^{2}) + \log (x^{2 (3) \frac{1}{2}} {(y^{8})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}}) - \log (y^{2}) + \log (x^{2 \cdot 3 \frac{1}{2}} {(y^{8})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}}) - \log (y^{2}) + \log (x^{3} {(y^{8})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}}) - \log (y^{2}) + \log (x^{3} y^{8 (\frac{1}{2})})$

Schritt 1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}}) - \log (y^{2}) + \log (x^{3} y^{2 (4) \frac{1}{2}})$

Schritt 1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}}) - \log (y^{2}) + \log (x^{3} y^{2 \cdot 4 \frac{1}{2}})$

Schritt 1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}}) - \log (y^{2}) + \log (x^{3} y^{4})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{y^{12}}{x^{3}}}{y^{2}}) + \log (x^{3} y^{4})$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{\frac{y^{12}}{x^{3}}}{y^{2}} (x^{3} y^{4}))$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{3} y^{4}$ heraus.

$\log (\frac{\frac{y^{12}}{x^{3}}}{y^{2}} (y^{2} (x^{3} y^{2})))$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{\frac{y^{12}}{x^{3}}}{y^{2}} (y^{2} (x^{3} y^{2})))$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{y^{12}}{x^{3}} (x^{3} y^{2}))$

Schritt 5

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{y^{12}}{x^{3}}$ .

$\log (\frac{x^{3} y^{12}}{x^{3}} y^{2})$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{x^{3} y^{12}}{x^{3}}$ und $y^{2}$ .

$\log (\frac{x^{3} y^{12} y^{2}}{x^{3}})$

Schritt 7

Multipliziere $y^{12}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $y^{2}$ .

$\log (\frac{x^{3} (y^{2} y^{12})}{x^{3}})$

Schritt 7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log (\frac{x^{3} y^{2 + 12}}{x^{3}})$

Schritt 7.3

Addiere $2$ und $12$ .

$\log (\frac{x^{3} y^{14}}{x^{3}})$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{x^{3} y^{14}}{x^{3}})$

Schritt 8.2

Dividiere $y^{14}$ durch $1$ .

$\log (y^{14})$