Elementarmathematik Beispiele

$8 \log_{a} (0.25 m) + 12 \log_{a} (0.25 n) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $8 \log_{a} (0.25 m)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{a} ({(0.25 m)}^{8}) + 12 \log_{a} (0.25 n) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $0.25 m$ an.

$\log_{a} ({0.25}^{8} m^{8}) + 12 \log_{a} (0.25 n) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.3

Potenziere $0.25$ mit $8$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + 12 \log_{a} (0.25 n) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.4

Vereinfache $12 \log_{a} (0.25 n)$ , indem du $12$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} ({(0.25 n)}^{12}) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.5

Wende die Produktregel auf $0.25 n$ an.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} ({0.25}^{12} n^{12}) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.6

Potenziere $0.25$ mit $12$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.7

Vereinfache $- 3 \log_{a} (0.25 a)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} ({(0.25 a)}^{3}) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.8

Wende die Produktregel auf $0.25 a$ an.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} ({0.25}^{3} a^{3}) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.9

Schreibe $\log_{a} ({0.25}^{3} a^{3})$ als $\log_{a} ({0.25}^{3}) + \log_{a} (a^{3})$ um.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - (\log_{a} ({0.25}^{3}) + \log_{a} (a^{3})) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.10

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $3$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - (\log_{a} ({0.25}^{3}) + 3 \log_{a} (a)) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.11

Die logarithmische Basis $a$ von $a$ ist $1$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - (\log_{a} ({0.25}^{3}) + 3 \cdot 1) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.12

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - (\log_{a} ({0.25}^{3}) + 3) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.13

Potenziere $0.25$ mit $3$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - (\log_{a} (0.015625) + 3) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} (0.015625) - 1 \cdot 3 + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} (0.015625) - 3 + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Schritt 1.16

Vereinfache $5 \log_{a} (0.25 b)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} (0.015625) - 3 + \log_{a} ({(0.25 b)}^{5})$

Schritt 1.17

Wende die Produktregel auf $0.25 b$ an.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} (0.015625) - 3 + \log_{a} ({0.25}^{5} b^{5})$

Schritt 1.18

Potenziere $0.25$ mit $5$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} (0.015625) - 3 + \log_{a} (0.00097656 b^{5})$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8} (0.00000005 n^{12})) - \log_{a} (0.015625) - 3 + \log_{a} (0.00097656 b^{5})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{a} (\frac{0.00001525 m^{8} (0.00000005 n^{12})}{0.015625}) - 3 + \log_{a} (0.00097656 b^{5})$

Schritt 4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{a} (\frac{0.00001525 m^{8} (0.00000005 n^{12})}{0.015625} (0.00097656 b^{5})) - 3$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log_{a} (0.00097656 \frac{0.00001525 m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}}{0.015625} b^{5}) - 3$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.00097656$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $0.00097656$ aus $0.015625$ heraus.

$\log_{a} (0.00097656 \frac{0.00001525 m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}}{0.00097656 (16)} b^{5}) - 3$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{a} (0.00097656 \frac{0.00001525 m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}}{0.00097656 \cdot 16} b^{5}) - 3$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{a} (\frac{0.00001525 m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}}{16} b^{5}) - 3$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.00001525$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $0.00001525$ aus $0.00001525 m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}$ heraus.

$\log_{a} (\frac{0.00001525 (m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12})}{16} b^{5}) - 3$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{a} (\frac{0.00001525 (m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12})}{16} b^{5}) - 3$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{a} (\frac{m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}}{16} \cdot \frac{b^{5}}{65536}) - 3$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}}{16}$ mit $\frac{b^{5}}{65536}$ .

$\log_{a} (\frac{m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12} b^{5}}{16 \cdot 65536}) - 3$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $16$ mit $65536$ .

$\log_{a} (\frac{m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12} b^{5}}{1048576}) - 3$

Schritt 5.6

Bringe $0.00000005$ auf die linke Seite von $m^{8}$ .

$\log_{a} (\frac{0.00000005 \cdot m^{8} n^{12} b^{5}}{1048576}) - 3$

Schritt 5.7

Faktorisiere $0.00000005$ aus $0.00000005 \cdot m^{8} n^{12} b^{5}$ heraus.

$\log_{a} (\frac{0.00000005 (m^{8} n^{12} b^{5})}{1048576}) - 3$

Schritt 5.8

Faktorisiere $1048576$ aus $1048576$ heraus.

$\log_{a} (\frac{0.00000005 (m^{8} n^{12} b^{5})}{1048576 (1)}) - 3$

Schritt 5.9

Separiere Brüche.

$\log_{a} (\frac{0.00000005}{1048576} \cdot \frac{m^{8} n^{12} b^{5}}{1}) - 3$

Schritt 5.10

Dividiere $0.00000005$ durch $1048576$ .

$\log_{a} (0 \frac{m^{8} n^{12} b^{5}}{1}) - 3$

Schritt 5.11

Dividiere $m^{8} n^{12} b^{5}$ durch $1$ .

$\log_{a} (0 m^{8} n^{12} b^{5}) - 3$